课程笔记 - 普通物理

期末复习写的，十分粗糙 (尤其力学部分)

Ch 1. 质点运动

三种坐标系

• 直角坐标系

  • \(\bm{r}=x\bm{i}+y\bm{j}+z\bm{k}\)
  • \(\bm{v}=v_i\bm{i}+v_j\bm{j}+v_k\bm{k}\)
  • \(\bm{a}=a_i\bm{i}+a_j\bm{j}+a_k\bm{k}\)

• 极坐标系

  • \(\bm{\rho}=\rho\bm{e_{\rho}}\)
  • \(\bm{v}=\displaystyle{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}\bm{e_{\rho}}+\rho{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\bm{e_{\theta}}=:v_{\rho}\bm{e_{\rho}}+v_{\theta}\bm{e_{\theta}}\)
  • \(\bm{a}=\displaystyle\left({\mathrm{d}^2\rho\over\mathrm{d}t^2}-\rho\left({\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\right)^2\right)\bm{e_{\rho}}+\left(2{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}+\rho{\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\right)\bm{e_{\theta}}=:a_{\rho}\bm{e_{\rho}}+a_{\theta}\bm{e_{\theta}}\)

  定义 \(\displaystyle\omega:={\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t},~\beta:={\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\)

  则

  • \(v_{\theta}=\rho\omega\)
  • \(a_{\rho}=\displaystyle{\mathrm{d}v_{\rho}\over\mathrm{d}t}-\rho\omega^2\)
  • \(a_{\theta}=2v_{\rho}\omega+\rho\displaystyle{\mathrm{d}\omega\over\mathrm{d}t}=2v_{\rho}\omega+\rho\beta\)

• 自然坐标系

  • \(\bm{v}=v\bm{e_{\tau}}\)
  • \(\bm{a}=\displaystyle{\mathrm{d}v\over\mathrm{d}t}\bm{e_{\tau}}+v{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\bm{e_n}=:a_{\tau}\bm{e_{\tau}}+a_n\bm{e_n}\)

  设 \(\rho\) 为曲率半径，则 \(a_n=\displaystyle\frac{v^2}{\rho}\)

万有引力

• \[ \bm{F}=-G\frac{m_1m_2}{r^3}\bm{r} \]
• \[ \bm{F}=-G\frac{m_1m_2}{\rho^2}\bm{e_{\rho}} \]

例题 - 1.1.1

证明 Kepler 行星第二定律

解

\[ \bm{F}=-\displaystyle G{m_{earth}m\over\rho^2}\bm{e_{\rho}} \]

\[ \bm{a}=-G\displaystyle{m_{earth}\over\rho^2}\bm{e_{\rho}}=a_{\rho}\bm{e_{\rho}}+a_{\theta}\bm{e_{\theta}}\implies\begin{cases} \displaystyle\left({\mathrm{d}^2\rho\over\mathrm{d}t^2}-\rho\left({\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\right)^2\right)=-G\displaystyle{m_{earth}\over\rho^2}\\ \displaystyle\left(2{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}+\rho{\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\right)=0 \end{cases} \]

又单位时间扫过面积为

\[ {\mathrm{d}S\over\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\rho^2{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t} \]

而

\[ {\mathrm{d}^2S\over\mathrm{d}t^2}=\frac{1}{2}\rho\left(2{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}+\rho{\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\right)=0 \]

故成立

\(\Box\)

Ch 3. 动量守恒定律

质心

\[ \bm{r}_c={\sum_n m_i\bm{r}_i\over\sum_n m_i}=\frac{\sum_n m_ix_i}{\sum_n m_i}\bm{i}+\frac{\sum_n m_iy_i}{\sum_n m_i}\bm{j}+\frac{\sum_n m_iz_i}{\sum_n m_i}\bm{k} \]

若质量连续分布，则

\[ \bm{r}_c={\int x\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{i}+{\int y\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{j}+{\int z\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{k} \]

质心运动定理

\[ \sum_n\bm{F}_i=m\bm{a}_c \]

电磁场具有动量 (p71)

变质量系统 (发射火箭)

\[ v-v_0=u\ln N \]

• \(u\): 喷射速度
• \(N\): 质量比 \(\frac{m_0}{m}\)

Ch 4. 角动量守恒定律

力矩

\[ \bm{M}:=\bm{r}\times\bm{F}=\begin{vmatrix} \bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ x&y&z\\ F_x&F_y&F_z \end{vmatrix}=:M_x\bm{i}+M_y\bm{j}+M_z\bm{k} \]

求分量

1. 利用 \(\bm{r},\bm{F}\) 的正射影求 \(M_z\)
2. 定义

角动量

\[ \bm{l}:=\bm{r}\times m\bm{v} \]

角动量定理

\[ \bm{M}={\mathrm{d}\bm{l}\over\mathrm{d}t} \]

质点对力心的角动量守恒

质点系角动量守恒定律

\[ \bm{M}_{out}={\mathrm{d}\bm{L}\over\mathrm{d}t} \]

Ch 5. 刚体力学

刚体的转动惯量

\[ J=\int r^2\mathrm{d}m=\int r^2\rho\mathrm{d}V \]

\[ E_k=\frac{1}{2}J\omega^2 \]

影响因素

• 质量
• 转轴位置
• 质量分布

平行轴定理 & 垂直轴定理

• 平行轴定理

  \[ J_d=J_c+md^2 \]

• 垂直轴定理

  \[ J_x=J_y+J_z+\iiint_Vr^2\mathrm{d}m \]

转动量与平动量关系

\[ M\longleftrightarrow F \]

\[ \alpha\longleftrightarrow a \]

\[ J\longleftrightarrow m \]

\[ \omega\longleftrightarrow v \]

\[ L\longleftrightarrow p \]

---

\[ E_k=\frac{1}{2}J\omega^2 \]

\[ \mathrm{d}A=M_z\mathrm{d}\theta \]

\[ P=M_z\omega \]

\[ L_z=J\omega \]

\[ M_z\mathrm{d}t=\mathrm{d}L_z \]

固体的形变和弹性

比例极限 -> 弹性极限 -> 塑性极限 -> 强度极限

加工硬化

弹性模量和切变模量

\(\epsilon_n=\frac{\Delta l}{l}\), \(\sigma_n=\frac{F_n}{S}\)

\(\epsilon_t=\tan\psi\sim\psi~(\psi\to0)\) (\(\psi:\) 剪切角), \(\sigma_t=\frac{F_t}{S}\) (\(S:\) 横截面)

\(\sigma_n=E\epsilon_n\)

\(\sigma_t=G\epsilon_t\)

对大多数各向同性且均匀的固体材料，\(G\thickapprox 0.4E\)

Ch 6. 流体力学

理想流体及其连续性方程

• 理想流体
• 定常流动
• 流线
• 流管

连续性方程

\[ \mathrm{d}Q_V=v\mathrm{d}S \]

流量的量纲为 \(L^3\)

理想流体: \(Sv=\texttt{const}\)

一般流体: \(\rho Sv=\texttt{const}\) (质量)

平均流速: \(\bar{v}=\displaystyle\frac{Q_V}{S}\)

Bernouli 方程

\[ \frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=\texttt{const} \]

水平流管: \(p+\frac{1}{2}\rho v^2=\texttt{const}\)

粘性流体

• 层流
• 速率梯度
• 粘度
  • 与温度:
    • 液体：负相关
    • 气体：正相关

\[ F=\pm\eta\left({\mathrm{d}v\over\mathrm{d}z}\right)_{z_0}\Delta S \]

运动规律

\[ p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2+w \]

减小粘性损耗:

• 减小 \(p_1-p_2\)
• 减小 \(h_1-h_2\)

Poiseuille 定律

\[ Q_V=\frac{\pi}{8\eta}\left(\frac{p_1-p_2}{l}\right)r^4 \]

(\(l:\) 长度，\(r:\) 半径)

水平圆管道: \(w=\displaystyle\frac{8\eta l}{r^2}\bar{v}\)

湍流和 Reynolds 数

• 湍流: \(w\propto \bar{v}^2\)
• Reynolds 数: \(Re=\displaystyle\frac{\rho vr}{\eta}\)
• 临界 Reynolds 数 \(Re_c\) (范围)
• 临界流速 \(v_c=\displaystyle\frac{Re_c\eta}{\rho r}\) (范围)

Stokes 粘性公式

\[ F=6\pi\eta rv \]

Ch 7. 振动和波动

简谐振动

\[ x=A\cos(\omega t+\varphi) \]

\[ v=A\omega\sin(\omega t+\varphi) \]

\[ E=\frac{1}{2}kA^2 \]

\[ v^2=\omega^2(A^2-x^2) \]

简谐振动的叠加

同一直线同频率

\[ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}\in[|A_1-A_2|,A_1+A_2] \]

\[ \varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2} \]

同一直线频率相近

\[ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos((\omega_2-\omega_1)t+\varphi_2-\varphi_1)}\in[|A_1-A_2|,A_1+A_2] \]

拍频 \(\nu=2A\cos(\frac{\omega_2-\omega_1}{2}t)=|\nu_2-\nu_1|\)

互相垂直

• 频率相同:

  \(x=A\cos(\omega t+\alpha),~y=A\cos(\omega t+\beta)\)

  \[ \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy}{AB}\cos(\beta-\alpha)=\sin^2(\beta-\alpha) \]

  椭圆

  • \(\beta-\alpha=0~or~\pi\): 两条相交线段
  • \(\beta-\alpha=\pm\frac{\pi}{2}\): 以坐标轴为主轴的椭圆

• 频率不同:

  • 有整数比：李萨如图形
  • 无整数比：准周期运动

Ch 9. 气体，固体和液体的基本性质

理想气体的压强和温度

\[ p=\frac{1}{3}nm_0\bar{v^2}=\frac{2}{3}n\bar{\epsilon}_k \]

\[ p=nkT \]

\[ \bar{\epsilon}_k=\frac{1}{2}m_0\bar{v^2}=\frac{3}{2}kT \]

Ch 10. 电荷和静磁场

电荷，Coulomb 定律，电场，电场强度

电荷守恒定律 (P244)

一个与外界没有电荷交换的孤立系统，无论发生什么变化，整个系统的电荷总量 (正负电荷的代数和) 保持不变

电偶极子 (P251)

\(r\gg l\) 时，由一对电荷量相等，符号相反的点电荷组成的系统称作电偶极子

由负电荷到正电荷引出的有向线段 \(\bm{l}\) 称作电偶极子的轴

电矩: \(\bm{p}:=q\bm{l}\)

性质：电偶极子中垂面上任意一点的电场强度 \(E=-{\bm{p}\over 4\pi\epsilon_0r^3}\)

无限长均匀带电细棒在某一点处的电场强度 (P252, 258)

\[ \bm{E}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a}\bm{j} \]

Gauss 定理

电场强度通量

• 对非闭合的曲面 \(S\): \(\Phi_e:=\int_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}\)

• 对闭合的曲面 \(S\): \(\Phi_e:=\oint_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}\)

  规定法线 \(\bm{e}_n\) 的正方向为垂直于曲面且指向闭合曲面外部

Gauss 定理

\[ \oint_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V \]

或

\[ \nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0} \]

证明：由 Stokes 公式易得

Gauss 面内无电荷 \(\impliedby\atop{\Longrightarrow}\llap{/\enspamathrm}\) Gauss 面上的电场强度处处为零

均匀带电球体在某一点处的电场强度 (P259)

电势及其与电场强度的关系

静电场的环路定理 (P261)

\[ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=0 \]

保守场 \(\implies\atop{\Longleftarrow}\llap{/\thickspamathrm}\) 无旋场 (https://dxwl.bnu.edu.cn/CN/Y1985/V1/I2/48)

电势，电势能，功

\[ V_P=\frac{W_P}{q_0}=\int_P^{\infty}\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l} \]

\[ A_{PQ}=W_P-W_Q \]

电势的计算

以无穷远点为零电势点

\[ V_p=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\mathrm{d}q\over r} \]

电势与电场强度的关系

\[ \bm{E}=-\nabla V \]

• 电势梯度: \(\nabla V\), 电势面法线方向的电势变化率，方向沿电势增大方向

  \[ \nabla V=\frac{\partial V}{\partial n}\bm{e}_n \]

电偶极子 (P267)

\[ V={\bm{p}\cdot\bm{r}\over4\pi\epsilon_0r^3} \]

\[ E_r=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2p\cos\theta}{r^3} \]

\[ E_{\theta}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p\sin\theta}{r^3} \]

静电场中的金属导体

处于静电平衡的导体具有的性质 (P269)

1. 整个导体为等势体，导体表面为等势面
2. 导体表面附近的电场强度处处与表面垂直
3. 导体内部不存在净电荷

导体表面的电荷和电场

• 电场强度大小与电荷面密度成正比
• 尖端放电
• 电晕

导体空腔

1. 内表面不存在净电荷，所有净电荷只分布在外表面
2. 腔内无电场，电势处处相等
3. 若腔内存在带电体，则内表面带有和带电体等量异号的电荷

应用

• 静电屏蔽
• 场致发射显微镜
• Van de Graaff 静电高压起电机
• 避雷针
• Coulomb 平方反比律的精确验证

两平行导体平板电荷面密度 (P274)

电容和电容器

电容的计算 (10-6-3)

• 平行板电容器: \(C=\frac{\epsilon_0S}{d}\)
• 同心球形电容器: \(C=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{R_A}-\frac{1}{R_B}\right)\)
• 同轴柱形电容器: \(C=\frac{2\pi\epsilon_0l}{\ln R_B-\ln R_A}\)
• 平行无限长直导线 (单位长度) (P277): \(C=\frac{\pi\epsilon_0}{\ln d-\ln a}\)

电容器的连接

• 串联: \(\frac{1}{C}=\sum_n\frac{1}{C_n}\)
• 并联: \(C=\sum_nC_n\)

静电场中的电介质

• 绝缘体都属于电介质

• 在外加电场的作用下，电介质表面也会产生电荷 (极化)

• 无极分子电介质 (\(\mathrm{H_2}, \mathrm{N_2}, \mathrm{CH_4}\)) 位移极化

• 有极分子电介质 (\(\mathrm{SO_2}, \mathrm{H_2S}, \mathrm{HCl}\)) 取向极化

极化强度矢量 (P279)

\[ \bm{P}:={\sum\bm{p}\over\Delta\tau} \]

单位: \(\mathrm{C\cdot m^{-2}}\)

• 均匀极化

\[ \sigma'=\bm{P}\cdot\bm{e}_n \]

\[ \oint_S\bm{P}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-\int_V\mathrm{d}q \]

• 退极化场

平行板电容器 \(\implies\)

• 极化率 \(\chi_e\)

  对各向同性的电介质，\(\bm{P}=\chi_e\epsilon_0\bm{E}\) (P281)

• 相对电容率 \(\epsilon_r:=1+\chi_e\)

• 绝对电容率 \(\epsilon:=\epsilon_0\epsilon_r\)

当电容器两极板间电容率变为 \(\epsilon_r\) 倍时，电容变大 \(\epsilon_r\) 倍

电介质存在时的 Gauss 定理

\[ \oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\int_V\rho\mathrm{d}V \]

\[ \nabla\cdot\bm{D}=\rho \]

• 电位移 \(\bm{D}:=\epsilon_0\bm{E}+\bm{P}\)

  对各向同性的电介质: \(\bm{D}=\epsilon\bm{E}\)

边界条件

• 从一种介质过渡到另一种介质，电位移的法向分量不变
• 从一种介质过渡到另一种介质，电场强度的切向分量不变

静电场中的能量

• 能量定域于场

• 平行板电容器极板间能量 \(W_e=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}QU_{AB}=\frac{1}{2}CU_{AB}^2\)

• 平行板电容器中静电能能量密度 \(w_e=\frac{1}{2}DE\)

  真空中，\(w_e=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2\)

• 非匀强电场中，\(w_e=\frac{1}{2}DE\), \(W_e=\int_Vw_e\mathrm{d}V\)

• 各向异性电介质中，\(w_e=\frac{1}{2}\bm{D}\cdot\bm{E}\), \(W_e=\int_Vw_e\mathrm{d}V\)

Ch 11. 电流和恒磁场

恒定电流条件和导电规律

• 电流密度

  \[ \bm{j}={\mathrm{d}I\over\mathrm{d}S}\bm{e}_n \]

  单位: \(\mathrm{A\cdot m^{-2}}\)

• \[ I=\int_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S} \]

  电流就是电流密度通量

• 电流场

• 电流线

• 电流管

电流连续性方程

单位时间内流出闭合曲面 \(S\) 的电荷量等于同一时间内 \(S\) 所包围的电荷量的减少，即

\[ \oint_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-{\mathrm{d}q\over\mathrm{d}t}=-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_V\rho\mathrm{d}V \]

或

\[ \nabla\cdot\bm{j}=-\frac{\partial\rho}{\partial t} \]

恒定电流

电流场不随时间变化的电流

\[ \oint_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0 \]

\[ \nabla\cdot\bm{j}=0 \]

• Coulomb 电场：恒定电场与静电场

• 电导 \(G\)

电阻率

\[ \rho:=\frac{E}{j} \]

• \[ R=\rho\frac{l}{S} \]

• 对于金属材料，通常温度范围内，\(\rho=\rho_0(1+\alpha t)\)

  • \(\rho\): \(t\degree\!\mathrm{C}\) 时的电阻率
  • \(\rho_0\): \(0\degree\!\mathrm{C}\) 时的电阻率
  • \(\alpha\): 电阻温度系数

• 电导率 \(\sigma\)

Ohm 定律的微分形式

\[ \bm{j}=\sigma\bm{E} \]

• 在变化的电流场中依然成立

Biot-Savart 定律

\[ \mathrm{d}\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}{I\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{r}\over r^3} \]

整条导线 \(L\): \(\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_L{I\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{r}\over r^3}\)

无线长直导线在某一点处产生的磁感应强度 (P306)

\[ B=\frac{\mu_0I}{2\pi a} \]

环形导线在轴线上某一点处产生的磁感应强度 (P307)

\[ B={\mu_0R^2\over2(R^2+a^2)^\frac{3}{2}} \]

沿直线运动的电荷在某瞬间在某一点处产生的磁感应强度 (P307)

\[ \bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}{q\bm{v}\times\bm{r}\over r^3}=\mu_0\epsilon_0\bm{v}\times\bm{E}=\frac{1}{c^2}\bm{v}\times\bm{E} \]

磁矩

• 圆形电流: \(\bm{m}:=nIS\bm{e}_n\)

  \(\bm{e}_n\) 指向与 \(I\) 满足右螺旋关系

磁场的 Gauss 定理和 Ampère 环路定理

恒定电流磁场的 Gauss 定理

\[ \oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0 \]

\[ \nabla\cdot\bm{B}=0 \]

Ampère 环路定理

\[ \oint_L\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\bm{\mu}_0\sum_{i}I_i \]

积分方向与电流方向满足右螺旋时取正值，满足左螺旋时取负值

又由

\[ \oint_L\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_S(\nabla\times\bm{B})\cdot\mathrm{d}\bm{S} \]

\[ \sum_iI_i=\int_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S} \]

则有微分形式

\[ \nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{j} \]

• 磁场不是保守场

螺线管内一点的磁感应强度 (P310)

\[ B=\mu_0nI \]

• 只适用于真空中或非铁磁材料中

螺绕环内的磁感应强度 (P311)

\[ B=\mu_0nI \]

• 只适用于真空中或非铁磁材料中

磁场对电流的作用

Ampère 定律

\[ \mathrm{d}\bm{F}=I\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B} \]

\[ \bm{F}=\int_LI\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B} \]

两平行长直导线的相互作用

单位长度所受力

\[ f=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{a} \]

电流方向相同则相互吸引

磁场对载流线圈的作用

规定线圈平面法向于电流方向满足右螺旋关系

\[ \bm{M}=\bm{m}\times\bm{B} \]

\(\alpha:=\lang\bm{B},\bm{m}\rang\)

• 匀强磁场中:
  • \(\alpha=0\), \(\bm{M}=\bm{0}\), 稳定平衡
  • \(\alpha=\pi\), \(\bm{M}=\bm{0}\), 不稳定平衡
  • \(\alpha=\frac{\pi}{2}\), \(\bm{M}\) 最大
  • 向 \(\alpha\) 减小方向转动

在非匀强磁场中，线圈在转动之外，还会向磁场较强的方向运动

带电粒子在磁场中的运动

• 磁聚焦

• Hall 效应

  Hall 系数 \(K_H=\frac{1}{nq}\)

磁介质的磁化

• 磁介质

• 顺磁质

• 铁磁质

• 抗磁质

• 磁化

• 磁化强度：单位体积内分子磁矩矢量和

  \[ \bm{M}:={\sum\bm{m}\over\Delta\tau} \]

• 均匀磁化

磁化电流

\(i'\)

螺线管内部:

• \[ M=i' \]
• \[ \bm{B}=\bm{B}_0+\mu_0\bm{M} \]

磁化强度与磁化电流的关系

\[ \oint_L\bm{M}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\sum_{\text{In}~L}I' \]

• 介质表面: \(\bm{M}\times\bm{e}_n=\bm{i}'\)

  介质表面磁化电流密度只与磁化强度沿表面的切向分量有关，而与法向分量无关

有磁介质的 Ampère 环路定理

• 磁场强度 \[ \bm{H}:={\bm{B}\over\mu_0}-\bm{M} \]

\[ \oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_V\bm{j}_0\cdot\mathrm{d}\bm{S} \]

其中 \(\bm{j}_0\) 为传导密度，\(S\) 是以 \(L\) 为边界的曲面

\[ \nabla\times\bm{H}=\bm{j}_0 \]

• 对于各向同性的顺磁质和抗磁质

  • 磁化率 \(\chi_m\) \[ \bm{M}=\chi_m\bm{H} \]

  • 相对磁导率 \(\mu_r:=1+\chi_m\) \[ \bm{B}=\mu_0\mu_r\bm{H} \]

  • 绝对磁导率 \(\mu:=\mu_0\mu_r\)

  • 顺磁质: \(\chi_m>0,\mu_r\gtrapprox 1\)

  • 铁磁质: \(\chi_m,\mu_r\) 均很大，且是 \(\bm{M}\) 的非单值函数

  • 抗磁质: \(\chi_m<0,\mu_r\lessapprox 1\)

  • 真空: \(\chi_m=0,\mu_r=1\)

边界条件

• 从一种介质过渡到另一种介质，磁感应强度的法向分量不变
• 从一种介质过渡到另一种介质，磁场强度的切向分量不变

对比

	电	公式	磁	公式
物理量	极化强度 \(\bm{P}\)		磁化强度 \(\bm{M}\)
		\(\displaystyle\bm{P}:={\sum\bm{p}\over\Delta\tau}\)		\(\displaystyle\bm{M}:={\sum\bm{m}\over\Delta\tau}\)
		\(\bm{P}\cdot\bm{e}_n=\sigma'\)		\(\bm{M}\times\bm{e}_n=\bm{i}'\)
		\(\displaystyle\oint_S\bm{P}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-\int_V\mathrm{d}q\)		\(\displaystyle\oint_L\bm{M}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_V\bm{j}'\mathrm{d}V\)
	电位移 \(\bm{D}\)		磁场强度 \(\bm{H}\)
		\(\bm{D}:=\epsilon_0\bm{E}+\bm{P}\)		\(\bm{H}:={\bm{B}\over\mu_0}-\bm{M}\)
	极化率 \(\chi_e\)		磁化率 \(\chi_m\)
	相对电容率 \(\epsilon_r\)		相对磁导率 \(\mu_r\)
		\(\epsilon_r:=1+\chi_e\)		\(\mu_r:=1+\chi_m\)
	绝对电容率 \(\epsilon\)		绝对磁导率 \(\mu\)
		\(\epsilon:=\epsilon_0\epsilon_r\)		\(\mu:=\mu_0\mu_r\)
各向同性情况下		\(\bm{P}=\chi_e\epsilon_0\bm{E}\)		\(\bm{M}=\chi_m\bm{H}\)
边界条件	\(\bm{D}\) 的法向分量不变		\(\bm{B}\) 的法向分量不变
	\(\bm{E}\) 的切向分量不变		\(\bm{H}\) 的切向分量不变

铁磁性

• 自发磁化强度

• 居里温度

  • 铁磁质 -> 顺磁质

• 磁畴

  • 外加磁场较小时
  • 外加磁场较大时

• 磁滞现象

  • 饱和磁化强度 \(M_s\)

  • 剩余磁化强度 \(M_r\)

  • 矫顽力 \(H_c\)

  • 磁滞回线

  • 软磁材料

  • 硬磁材料

  • 矩磁材料

  • 微波磁材料

Ch 12. 电磁感应和 Maxwell 电磁理论

电磁感应及其基本规律

• 感应电荷

  \[ q_i=\int_{t_1}^{t_2}I_i\mathrm{d}t=\int_{\Phi_1}^{\Phi_2}-\frac{1}{R}\mathrm{d}\Phi=\frac{\Phi_1-\Phi_2}{R} \]

• 动生电动势

  • 不闭合导体 \(\epsilon_i=\int_L(\bm{v}\times\bm{B})\mathrm{d}\bm{l}\)
  • 闭合导体 \(\epsilon_i=\oint_L(\bm{v}\times\bm{B})\mathrm{d}\bm{l}\)

• 感生电动势

  • 不闭合导体 \(\epsilon_i=\int_L\bm{E}_W\mathrm{d}\bm{l}\)
  • 闭合导体 \(\epsilon_i=\oint_L\bm{E}_W\mathrm{d}\bm{l}\)

• 全电场 \(\bm{E}=\bm{E}_C+\bm{E}_W\)

  \[ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S} \]

  \[ \nabla\times\bm{E}=-{\partial\bm{B}\over\partial t} \]

• 感生电场与磁场变化率成左螺旋关系

互感和自感

互感

\[ \Phi_{12}=M_{12}I_1 \]

• 互感电动势

  \[ \epsilon_2=-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}(M_{12}I_1) \]

  线圈的形状 , 大小和相对位置保持不变时

  \[ \epsilon_2=-M_{12}{\mathrm{d}I_1\over\mathrm{d}t} \]

• \(M_{12}=M_{21}\)

• 当线圈内或周围空间没有铁磁质时，\(M\) 仅由线圈几何形状 , 大小 , 匝数和相对位置决定

• 若线圈内或周围空间存在非铁磁质时，\(M\) 还与磁介质的磁导率有关

• 当线圈内或周围空间存在铁磁质时，\(M\) 还与线圈中的电流有关

• 单位: \(\mathrm{H}\), \(1\mathrm{ H}=1\mathrm{ Wb\cdot A^{-1}}=1\mathrm{ V\cdot s\cdot A^{-1}}\)

• 互感干扰

自感

\[ \Phi=LI \]

• 自感电动势 \[ \epsilon=-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}(LI) \] 线圈的形状 , 大小保持不变，且不存在铁磁质时 \[ \epsilon=-L{\mathrm{d}I\over\mathrm{d}t} \]

• 单位: \(\mathrm{H}\), \(1\mathrm{ H}=1\mathrm{ Wb\cdot A^{-1}}=1\mathrm{ V\cdot s\cdot A^{-1}}\)

• 自感电弧

两嵌套螺线管的互感 (P10)

\[ M=\mu_0\frac{N_1N_2}{l}S \]

螺线管的自感 (P10)

\[ L=\mu n^2V \]

两线圈串联后的自感

\(L_1,L_2,M\)

• 顺接 \(L=L_1+L_2+2M\)
• 反接 \(L=L_1+L_2-2M\)

涡流和趋肤效应

• 涡流
• 电磁阻尼
• 趋肤效应

磁场的能量

• 磁场能量密度 \(w_m\)

  \[ w_m=\int_0^BH\mathrm{d}B \]

  适用于真空和各向同性的磁介质

  • 各向同性的顺磁质和抗磁质

    \[ w_m=\frac{1}{2}BH \]

    \[ W_m=\int_Vw_m\mathrm{d}V=\frac{1}{2}\int_VBH\mathrm{d}V \]

    • 由各向同性的顺磁质或抗磁质作为磁芯的螺线管 (自感磁能)

      \[ W_m=\frac{1}{2}LI^2 \]

• 电磁场

  • 能量密度 \(w=\frac{1}{2}(\bm{E}\cdot\bm{D}+\bm{B}\cdot\bm{H})\)
  • 能量 \(\displaystyle W=\frac{1}{2}\int_V(\bm{E}\cdot\bm{D}+\bm{B}\cdot\bm{H})\mathrm{d}V\)

超导体的电磁特性

• 临界温度 \(T_C\)

• 临界磁场

  \[ B_C(T)=B_0\left(1-\left(\frac{T}{T_C}\right)^2\right) \]

• 超导态: \(T<T_C\) 且 \(B<B_C\)

• 临界电流

  \[ I_C(T)=I_0\left(1-\left(\frac{T}{T_C}\right)^2\right) \]

  \(I>I_C\) 时，超导态变为正常态

• 零电阻性

  • 不存在随时间变化的磁场 (\(\displaystyle{\partial\bm{B}\over\partial t}=-\nabla\times\bm{E}=0\))

• 完全抗磁性 (Meissner 效应)

完全抗磁性与零电阻性是超导体两种独立的基本性质

• 同位素效应 \(T\propto A_r^{-1/2}\)

  电子与晶格之间的相互作用是超导现象中的重要因素

Maxwell 电磁理论

位移电流

\[ \bm{j}_d:={\partial\bm{D}\over\partial t}=\epsilon{\partial\bm{E}\over\partial t}+{\partial\bm{P}\over\partial t} \]

• 全电流密度 \(\bm{j}:=\bm{j}_0+\bm{j}_d\)

Maxwell 方程组

适用于恒静和变化的电磁场

• Gauss 定理

  \[ \oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\int_V\rho_0\mathrm{d}V \]

• 电场环路定理

  \[ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S} \]

• 磁场的 Gauss 定理

  \[ \oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}S=0 \]

• Ampère 环路定理

  \[ \oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_S\left(\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\bm{S} \]

积分形式

\[ \begin{cases} \oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}&=\int_V\rho_0\mathrm{d}V\\ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}&=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S}\\ \oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}S&=0\\ \oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}&=\int_S\left(\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\bm{S} \end{cases} \]

微分形式

\[ \begin{cases} \nabla\cdot\bm{D}&=\rho_0\\ \nabla\times\bm{E}&=-{\partial\bm{B}\over\partial t}\\ \nabla\cdot\bm{B}&=0\\ \nabla\times\bm{H}&=\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t} \end{cases} \]

边界条件

\[ \begin{cases} D_{1n}=D_{2n}\\ E_{1t}=E_{2t}\\ B_{1n}=B_{2n}\\ H_{1t}=H_{2t} \end{cases} \]

对真空中和各向同性的介质

• 在遇到电磁场与物质的相互作用时需补充 \[ \begin{cases} \bm{D}&=\epsilon_0\epsilon_r\bm{E}\\ \bm{B}&=\mu_0\mu_r\bm{H}\\ \bm{j}_0&=\sigma\bm{E} \end{cases} \]
• 存在非静电性电场 \(K\) 时，\(\bm{j}_0=\sigma(\bm{E}+\bm{K})\)

电磁波的产生和传播

LC 振荡电路

\[ f={1\over2\pi\sqrt{LC}} \]

• 发射电磁波的条件
  • 频率高
  • 电路开放

偶极振子

• 平均能流密度 \(\bar{S}=\frac{1}{2}E_0H_0\)

  • 性质:

    • 正比于频率的四次方
    • 反比于离开振子中心的平方
    • 正比于 \(\sin^2\theta\) (\(\theta\) 为传播方向与极轴的夹角), 具有强烈的方向性，垂直于轴线方向的辐射最强，沿轴线方向的辐射为 \(0\)

• 瞬时能流密度 \(\bm{S}=\bm{E}\times\bm{H}\)

Ch 13. 电路和磁路

Kirchhoff 定律

Kirchhoff 第一定律

汇集于同一结点的各支路电流代数和为 \(0\)

• 约定流出结点的电流为正，流入结点的电流为负

Kirchhoff 第二定律

在一个回路中，电阻电势降代数和等于电源电动势代数和

• 约定
  • 电流沿绕行方向时，电势降为正
  • 电源电动势沿绕行方向时为正

交流电和交流电路的基本概念

物理量

阻抗和相位差

\[ Z:=\frac{U_0}{I_0}=\frac{U}{I} \]

因为相位差，所以瞬时值不能写成类似关系

\[ \varphi:=\varphi_u-\varphi_i \]

纯电阻

\[ Z=R,\varphi=0 \]

阻抗仅在频率不太高的时候成立 (趋肤效应)

\[ u(t)=U_0\cos\omega t \]

\[ i(t)=I_0\cos\omega t \]

纯电感

\[ Z=\omega L,\varphi=\frac{\pi}{2} \]

\[ u(t)=U_0\cos\omega t \]

\[ i(t)=I_0\cos(\omega t-\frac{\pi}{2}) \]

纯电容

\[ Z=\frac{1}{\omega C},\varphi=-\frac{\pi}{2} \]

\[ u(t)=U_0\cos\omega t \]

\[ i(t)=I_0\cos(\omega t+\frac{\pi}{2}) \]

交流电路的矢量图解法

• RL 串联
• RC 并联

交流电路的复数解法

\[ \tilde{U}=U_0e^{j(\omega t+\varphi_u)} \]

\[ \tilde{I}=I_0e^{j(\omega t+\varphi_i)} \]

\[ \tilde{Z}={\tilde{U}\over\tilde{I}}=Ze^{j\varphi} \]

电阻

\[ \tilde{Z}_R=R \]

电感

\[ \tilde{Z}_L=j\omega L \]

电容

\[ \tilde{Z}_C=\frac{1}{j\omega C} \]

串联电路

\[ \tilde{U}=\sum_i\tilde{U_i} \]

\[ \tilde{Z}=\sum_i\tilde{Z_i} \]

并联电路

\[ \tilde{I}=\sum_i\tilde{I_i} \]

\[ {1\over\tilde{Z}}=\sum_i{1\over\tilde{Z_i}} \]

Kirchhoff 方程组

\[ \sum\pm\tilde{I}=0 \]

\[ \sum\pm\tilde{I}\tilde{Z}=\sum\pm\tilde{E} \]

RLC 串联电路

\[ \tilde{Z}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right) \]

• \(\omega<{1\over\sqrt{LC}}\): 电压落后电流，表现为容抗性

交流电的功率

瞬时功率

\[ p(t)=u(t)i(t)=\frac{1}{2}U_0I_0(\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi))=UI(\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi)) \]

和差化积: \(\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi)=2\cos\omega t\cos\varphi\)

平均功率

\[ P=\frac{1}{T}\int_0^Tp(t)\mathrm{d}t=UI\cos\varphi \]

• \(\cos\varphi\): 功率因数，有功功率在视在功率中所占比例

  • 纯电阻电路: \(P=UI\)
  • 纯电感 / 纯电容电路: \(P=0\), 正值功率等于负值功率

• 视在功率

  \[ S=UI \]

  单位: \(\mathrm{V\cdot A}\)

  • 额定视在功率 (容量)

• 有功功率

  \[ P=I^2Z\cos\varphi=I^2\Re\tilde{Z} \]

  单位: \(\mathrm{W}\)

• 无功功率

  \[ P_q=I^2Z\sin\varphi=I^2\Im\tilde{Z} \]

  单位: \(\mathrm{Var}\)

\[ S^2=P^2+P_q^2 \]

磁路和磁路定律

磁介质分界面上磁感应线的折射

\[ \frac{\tan i}{\tan r}={\mu_{r1}\over\mu_{r2}} \]

磁路

• 漏磁

• 串联磁路

• 并联磁路

磁路定律

• 单回路

  \[ NI_0=\Phi\sum_i\frac{l_i}{\mu_iS_i} \]

  • \(NI_0\): 磁通势，\(\epsilon_m\)
  • \(\frac{l_i}{\mu_iS_i}\): 磁阻，\(R_{mi}\)
  • \(\Phi R_{mi}\): 磁势降落

  \[ \epsilon_n=\Phi\sum_iR_{mi} \]

  闭合磁路磁通势等于各段磁路上的磁势降落之和

• 有效磁导率 (与相同空心螺绕环的比值) \(\mu_e:=\frac{\Phi}{\Phi_0}\)

• 开气隙使磁导率大幅下降，但能极大改善器件的温度稳定性

Ch 14. 光学

光波及其相干条件

• 波速 \(u={1\over\sqrt{\epsilon\mu}}\)

• 折射率 \(n=\frac{c}{u}=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}\)

• 能量密度 \(w=\frac{1}{2}\epsilon E^2+\frac{1}{2}\mu H^2\)

• 能流密度 \(S=wu=EH\)

  • 坡印廷矢量 \(\bm{S}=\bm{E}\times\bm{H}\)

• 强度 \(I=\bar{S}=\frac{n}{2\mu c}E_0^2\)

• 相对强度 \(I=E_0^2\)

• 沿 \(r\) 方向传播的平面电磁波 \(\bm{E}=\bm{E}_0\cos(\omega t-\bm{k}\cdot\bm{r}+\varphi_0)\)

光程

\(l=nx\)

• 等光程原理

干涉

• 频率相同

• 存在互相平行的振动分量

• 具有固定的相位关系

• 干涉加强 光程差为半波长偶数倍

• 干涉减弱 光程差为半波长奇数倍

获得相干波的方法

分波前法

• 杨氏双缝干涉

  • 光程差 \(\Delta=\frac{2a}{D}x\)

  • 亮条纹条件 \(2\frac{r_2-r_1}{\lambda}=2k\) (光程差为半波长偶数倍)

    \(x=\frac{D}{2a}2k\frac{\lambda}{2}\)

  • 暗条纹条件 \(2\frac{r_2-r_1}{\lambda}=2k+1\) (光程差为半波长奇数倍)

    \(x=\frac{D}{2a}(2k+1)\frac{\lambda}{2}\)

分振幅法

• 薄膜干涉

  • 等倾干涉

    • 光程差 \(\Delta=2ne\cos r+\frac{\lambda}{2}\)

  • 等厚干涉

    • 光程差 \(\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2}\)

    • 空气劈尖

      • 厚度 \(h=\frac{\lambda}{2l}L\), \(l\) 相邻条纹间距

    • Newton 环

      • 气隙厚度 \(e=\frac{r^2}{2R}\)
      • 暗环半径 \(r=\sqrt{kR\lambda}\)

• Michelson 干涉

  • 干涉环移过 \(m\) 个条纹，平移距离 \(d=m\frac{\lambda}{2}\)

分振动面法

• 偏振光干涉

衍射

Fresnel 衍射

Fraunhofer 衍射

• 单缝

  • 光强 \(I_P=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2\)

  • \(\alpha=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\varphi\)

  • \(\alpha=0\): 主极大

  • \(\alpha=k\pi\): 暗条纹

    • 第一暗条纹的衍射角 \(\varphi_0=\arcsin\frac{\lambda}{a}\approx\frac{\lambda}{a}\)

  • 次极大 \(A_p=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}\)

  • 明纹条件 \({\mathrm{d}A_p\over\mathrm{d}\alpha}=0\implies\tan\alpha=\alpha\)

• 圆孔

  • 中央亮斑半角宽度 \(1.22\frac{\lambda}{D}\), 半径 \(1.22\frac{\lambda f}{D}\)
  • Rayleigh 判据
    • 最小分辨角 \(\theta_0=1.22\frac{\lambda}{D}\)
    • 光学系统分辨率 \(1\over\theta_0\)

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主要参考资料

• 物理学 (第五版). 刘克哲，张承琚，刘建强，宋洪晓. 2018.8