## Ch 1. 质点运动

### 三种坐标系

• 直角坐标系

• $$\bm{r}=x\bm{i}+y\bm{j}+z\bm{k}$$
• $$\bm{v}=v_i\bm{i}+v_j\bm{j}+v_k\bm{k}$$
• $$\bm{a}=a_i\bm{i}+a_j\bm{j}+a_k\bm{k}$$
• 极坐标系

• $$\bm{\rho}=\rho\bm{e_{\rho}}$$
• $$\bm{v}=\displaystyle{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}\bm{e_{\rho}}+\rho{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\bm{e_{\theta}}=:v_{\rho}\bm{e_{\rho}}+v_{\theta}\bm{e_{\theta}}$$
• $$\bm{a}=\displaystyle\left({\mathrm{d}^2\rho\over\mathrm{d}t^2}-\rho\left({\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\right)^2\right)\bm{e_{\rho}}+\left(2{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}+\rho{\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\right)\bm{e_{\theta}}=:a_{\rho}\bm{e_{\rho}}+a_{\theta}\bm{e_{\theta}}$$

定义 $$\displaystyle\omega:={\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t},~\beta:={\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}$$

• $$v_{\theta}=\rho\omega$$
• $$a_{\rho}=\displaystyle{\mathrm{d}v_{\rho}\over\mathrm{d}t}-\rho\omega^2$$
• $$a_{\theta}=2v_{\rho}\omega+\rho\displaystyle{\mathrm{d}\omega\over\mathrm{d}t}=2v_{\rho}\omega+\rho\beta$$
• 自然坐标系

• $$\bm{v}=v\bm{e_{\tau}}$$
• $$\bm{a}=\displaystyle{\mathrm{d}v\over\mathrm{d}t}\bm{e_{\tau}}+v{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\bm{e_n}=:a_{\tau}\bm{e_{\tau}}+a_n\bm{e_n}$$

$$\rho$$ 为曲率半径，则 $$a_n=\displaystyle\frac{v^2}{\rho}$$

### 万有引力

• $\bm{F}=-G\frac{m_1m_2}{r^3}\bm{r}$
• $\bm{F}=-G\frac{m_1m_2}{\rho^2}\bm{e_{\rho}}$

#### 例题 - 1.1.1

##### 解

$\bm{F}=-\displaystyle G{m_{earth}m\over\rho^2}\bm{e_{\rho}}$

$\bm{a}=-G\displaystyle{m_{earth}\over\rho^2}\bm{e_{\rho}}=a_{\rho}\bm{e_{\rho}}+a_{\theta}\bm{e_{\theta}}\implies\begin{cases} \displaystyle\left({\mathrm{d}^2\rho\over\mathrm{d}t^2}-\rho\left({\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}\right)^2\right)=-G\displaystyle{m_{earth}\over\rho^2}\\ \displaystyle\left(2{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}+\rho{\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\right)=0 \end{cases}$

${\mathrm{d}S\over\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\rho^2{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}$

${\mathrm{d}^2S\over\mathrm{d}t^2}=\frac{1}{2}\rho\left(2{\mathrm{d}\rho\over\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta\over\mathrm{d}t}+\rho{\mathrm{d}^2\theta\over\mathrm{d}t^2}\right)=0$

$$\Box$$

## Ch 3. 动量守恒定律

### 质心

$\bm{r}_c={\sum_n m_i\bm{r}_i\over\sum_n m_i}=\frac{\sum_n m_ix_i}{\sum_n m_i}\bm{i}+\frac{\sum_n m_iy_i}{\sum_n m_i}\bm{j}+\frac{\sum_n m_iz_i}{\sum_n m_i}\bm{k}$

$\bm{r}_c={\int x\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{i}+{\int y\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{j}+{\int z\mathrm{d}m\over\int\mathrm{d}m}\bm{k}$

### 质心运动定理

$\sum_n\bm{F}_i=m\bm{a}_c$

### 变质量系统 (发射火箭)

$v-v_0=u\ln N$

• $$u$$: 喷射速度
• $$N$$: 质量比 $$\frac{m_0}{m}$$

## Ch 4. 角动量守恒定律

### 力矩

$\bm{M}:=\bm{r}\times\bm{F}=\begin{vmatrix} \bm{i}&\bm{j}&\bm{k}\\ x&y&z\\ F_x&F_y&F_z \end{vmatrix}=:M_x\bm{i}+M_y\bm{j}+M_z\bm{k}$

#### 求分量

1. 利用 $$\bm{r},\bm{F}$$ 的正射影求 $$M_z$$
2. 定义

### 角动量

$\bm{l}:=\bm{r}\times m\bm{v}$

### 角动量定理

$\bm{M}={\mathrm{d}\bm{l}\over\mathrm{d}t}$

### 质点系角动量守恒定律

$\bm{M}_{out}={\mathrm{d}\bm{L}\over\mathrm{d}t}$

## Ch 5. 刚体力学

### 刚体的转动惯量

$J=\int r^2\mathrm{d}m=\int r^2\rho\mathrm{d}V$

$E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$

• 质量
• 转轴位置
• 质量分布

#### 平行轴定理 & 垂直轴定理

• 平行轴定理

$J_d=J_c+md^2$

• 垂直轴定理

$J_x=J_y+J_z+\iiint_Vr^2\mathrm{d}m$

### 转动量与平动量关系

$M\longleftrightarrow F$

$\alpha\longleftrightarrow a$

$J\longleftrightarrow m$

$\omega\longleftrightarrow v$

$L\longleftrightarrow p$

$E_k=\frac{1}{2}J\omega^2$

$\mathrm{d}A=M_z\mathrm{d}\theta$

$P=M_z\omega$

$L_z=J\omega$

$M_z\mathrm{d}t=\mathrm{d}L_z$

### 固体的形变和弹性

#### 弹性模量和切变模量

$$\epsilon_n=\frac{\Delta l}{l}$$, $$\sigma_n=\frac{F_n}{S}$$

$$\epsilon_t=\tan\psi\sim\psi~(\psi\to0)$$ ($$\psi:$$ 剪切角), $$\sigma_t=\frac{F_t}{S}$$ ($$S:$$ 横截面)

$$\sigma_n=E\epsilon_n$$

$$\sigma_t=G\epsilon_t$$

## Ch 6. 流体力学

### 理想流体及其连续性方程

• 理想流体
• 定常流动
• 流线
• 流管

#### 连续性方程

$\mathrm{d}Q_V=v\mathrm{d}S$

### Bernouli 方程

$\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh+p=\texttt{const}$

### 粘性流体

• 层流
• 速率梯度
• 粘度
• 与温度:
• 液体：负相关
• 气体：正相关

$F=\pm\eta\left({\mathrm{d}v\over\mathrm{d}z}\right)_{z_0}\Delta S$

#### 运动规律

$p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho gh_2+w$

• 减小 $$p_1-p_2$$
• 减小 $$h_1-h_2$$

#### Poiseuille 定律

$Q_V=\frac{\pi}{8\eta}\left(\frac{p_1-p_2}{l}\right)r^4$

($$l:$$ 长度，$$r:$$ 半径)

#### 湍流和 Reynolds 数

• 湍流: $$w\propto \bar{v}^2$$
• Reynolds 数: $$Re=\displaystyle\frac{\rho vr}{\eta}$$
• 临界 Reynolds 数 $$Re_c$$ (范围)
• 临界流速 $$v_c=\displaystyle\frac{Re_c\eta}{\rho r}$$ (范围)

#### Stokes 粘性公式

$F=6\pi\eta rv$

## Ch 7. 振动和波动

### 简谐振动

$x=A\cos(\omega t+\varphi)$

$v=A\omega\sin(\omega t+\varphi)$

$E=\frac{1}{2}kA^2$

$v^2=\omega^2(A^2-x^2)$

### 简谐振动的叠加

#### 同一直线同频率

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)}\in[|A_1-A_2|,A_1+A_2]$

$\varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2}$

#### 同一直线频率相近

$A=\sqrt{A_1^2+A_2^2-2A_1A_2\cos((\omega_2-\omega_1)t+\varphi_2-\varphi_1)}\in[|A_1-A_2|,A_1+A_2]$

#### 互相垂直

• 频率相同:

$$x=A\cos(\omega t+\alpha),~y=A\cos(\omega t+\beta)$$

$\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}-\frac{2xy}{AB}\cos(\beta-\alpha)=\sin^2(\beta-\alpha)$

椭圆

• $$\beta-\alpha=0~or~\pi$$: 两条相交线段
• $$\beta-\alpha=\pm\frac{\pi}{2}$$: 以坐标轴为主轴的椭圆
• 频率不同:

• 有整数比：李萨如图形
• 无整数比：准周期运动

## Ch 9. 气体，固体和液体的基本性质

### 理想气体的压强和温度

$p=\frac{1}{3}nm_0\bar{v^2}=\frac{2}{3}n\bar{\epsilon}_k$

$p=nkT$

$\bar{\epsilon}_k=\frac{1}{2}m_0\bar{v^2}=\frac{3}{2}kT$

## Ch 10. 电荷和静磁场

### 电荷，Coulomb 定律，电场，电场强度

#### 电偶极子 (P251)

$$r\gg l$$ 时，由一对电荷量相等，符号相反的点电荷组成的系统称作电偶极子

#### 无限长均匀带电细棒在某一点处的电场强度 (P252, 258)

$\bm{E}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 a}\bm{j}$

### Gauss 定理

#### 电场强度通量

• 对非闭合的曲面 $$S$$: $$\Phi_e:=\int_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$$

• 对闭合的曲面 $$S$$: $$\Phi_e:=\oint_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$$

规定法线 $$\bm{e}_n$$ 的正方向为垂直于曲面且指向闭合曲面外部

#### Gauss 定理

$\oint_S\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V$

$\nabla\cdot\bm{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$

Gauss 面内无电荷 $$\impliedby\atop{\Longrightarrow}\llap{/\enspamathrm}$$ Gauss 面上的电场强度处处为零

### 电势及其与电场强度的关系

#### 静电场的环路定理 (P261)

$\oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=0$

#### 电势，电势能，功

$V_P=\frac{W_P}{q_0}=\int_P^{\infty}\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$

$A_{PQ}=W_P-W_Q$

#### 电势的计算

$V_p=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\mathrm{d}q\over r}$

#### 电势与电场强度的关系

$\bm{E}=-\nabla V$

• 电势梯度: $$\nabla V$$, 电势面法线方向的电势变化率，方向沿电势增大方向

$\nabla V=\frac{\partial V}{\partial n}\bm{e}_n$

#### 电偶极子 (P267)

$V={\bm{p}\cdot\bm{r}\over4\pi\epsilon_0r^3}$

$E_r=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2p\cos\theta}{r^3}$

$E_{\theta}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{p\sin\theta}{r^3}$

### 静电场中的金属导体

#### 处于静电平衡的导体具有的性质 (P269)

1. 整个导体为等势体，导体表面为等势面
2. 导体表面附近的电场强度处处与表面垂直
3. 导体内部不存在净电荷

#### 导体表面的电荷和电场

• 电场强度大小与电荷面密度成正比
• 尖端放电
• 电晕

#### 导体空腔

1. 内表面不存在净电荷，所有净电荷只分布在外表面
2. 腔内无电场，电势处处相等
3. 若腔内存在带电体，则内表面带有和带电体等量异号的电荷

#### 应用

• 静电屏蔽
• 场致发射显微镜
• Van de Graaff 静电高压起电机
• 避雷针
• Coulomb 平方反比律的精确验证

### 电容和电容器

#### 电容的计算 (10-6-3)

• 平行板电容器: $$C=\frac{\epsilon_0S}{d}$$
• 同心球形电容器: $$C=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{R_A}-\frac{1}{R_B}\right)$$
• 同轴柱形电容器: $$C=\frac{2\pi\epsilon_0l}{\ln R_B-\ln R_A}$$
• 平行无限长直导线 (单位长度) (P277): $$C=\frac{\pi\epsilon_0}{\ln d-\ln a}$$

#### 电容器的连接

• 串联: $$\frac{1}{C}=\sum_n\frac{1}{C_n}$$
• 并联: $$C=\sum_nC_n$$

### 静电场中的电介质

• 绝缘体都属于电介质

• 在外加电场的作用下，电介质表面也会产生电荷 (极化)

• 无极分子电介质 ($$\mathrm{H_2}, \mathrm{N_2}, \mathrm{CH_4}$$) 位移极化

• 有极分子电介质 ($$\mathrm{SO_2}, \mathrm{H_2S}, \mathrm{HCl}$$) 取向极化

#### 极化强度矢量 (P279)

$\bm{P}:={\sum\bm{p}\over\Delta\tau}$

• 均匀极化

$\sigma'=\bm{P}\cdot\bm{e}_n$

$\oint_S\bm{P}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-\int_V\mathrm{d}q$

• 退极化场

• 极化率 $$\chi_e$$

对各向同性的电介质，$$\bm{P}=\chi_e\epsilon_0\bm{E}$$ (P281)

• 相对电容率 $$\epsilon_r:=1+\chi_e$$

• 绝对电容率 $$\epsilon:=\epsilon_0\epsilon_r$$

#### 电介质存在时的 Gauss 定理

$\oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\int_V\rho\mathrm{d}V$

$\nabla\cdot\bm{D}=\rho$

• 电位移 $$\bm{D}:=\epsilon_0\bm{E}+\bm{P}$$

对各向同性的电介质: $$\bm{D}=\epsilon\bm{E}$$

#### 边界条件

• 从一种介质过渡到另一种介质，电位移的法向分量不变
• 从一种介质过渡到另一种介质，电场强度的切向分量不变

### 静电场中的能量

• 能量定域于场

• 平行板电容器极板间能量 $$W_e=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}QU_{AB}=\frac{1}{2}CU_{AB}^2$$

• 平行板电容器中静电能能量密度 $$w_e=\frac{1}{2}DE$$

真空中，$$w_e=\frac{1}{2}\epsilon_0E^2$$

• 非匀强电场中，$$w_e=\frac{1}{2}DE$$, $$W_e=\int_Vw_e\mathrm{d}V$$

• 各向异性电介质中，$$w_e=\frac{1}{2}\bm{D}\cdot\bm{E}$$, $$W_e=\int_Vw_e\mathrm{d}V$$

## Ch 11. 电流和恒磁场

### 恒定电流条件和导电规律

• 电流密度

$\bm{j}={\mathrm{d}I\over\mathrm{d}S}\bm{e}_n$

单位: $$\mathrm{A\cdot m^{-2}}$$

• $I=\int_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$

电流就是电流密度通量

• 电流场

• 电流线

• 电流管

#### 电流连续性方程

$\oint_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-{\mathrm{d}q\over\mathrm{d}t}=-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}\int_V\rho\mathrm{d}V$

$\nabla\cdot\bm{j}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$

#### 恒定电流

$\oint_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0$

$\nabla\cdot\bm{j}=0$

• Coulomb 电场：恒定电场与静电场

• 电导 $$G$$

#### 电阻率

$\rho:=\frac{E}{j}$

• $R=\rho\frac{l}{S}$

• 对于金属材料，通常温度范围内，$$\rho=\rho_0(1+\alpha t)$$

• $$\rho$$: $$t\degree\!\mathrm{C}$$ 时的电阻率
• $$\rho_0$$: $$0\degree\!\mathrm{C}$$ 时的电阻率
• $$\alpha$$: 电阻温度系数
• 电导率 $$\sigma$$

#### Ohm 定律的微分形式

$\bm{j}=\sigma\bm{E}$

• 在变化的电流场中依然成立

### Biot-Savart 定律

$\mathrm{d}\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}{I\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{r}\over r^3}$

#### 无线长直导线在某一点处产生的磁感应强度 (P306)

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}$

#### 环形导线在轴线上某一点处产生的磁感应强度 (P307)

$B={\mu_0R^2\over2(R^2+a^2)^\frac{3}{2}}$

#### 沿直线运动的电荷在某瞬间在某一点处产生的磁感应强度 (P307)

$\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}{q\bm{v}\times\bm{r}\over r^3}=\mu_0\epsilon_0\bm{v}\times\bm{E}=\frac{1}{c^2}\bm{v}\times\bm{E}$

#### 磁矩

• 圆形电流: $$\bm{m}:=nIS\bm{e}_n$$

$$\bm{e}_n$$ 指向与 $$I$$ 满足右螺旋关系

### 磁场的 Gauss 定理和 Ampère 环路定理

#### 恒定电流磁场的 Gauss 定理

$\oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0$

$\nabla\cdot\bm{B}=0$

#### Ampère 环路定理

$\oint_L\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\bm{\mu}_0\sum_{i}I_i$

$\oint_L\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_S(\nabla\times\bm{B})\cdot\mathrm{d}\bm{S}$

$\sum_iI_i=\int_S\bm{j}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$

$\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{j}$

• 磁场不是保守场

#### 螺线管内一点的磁感应强度 (P310)

$B=\mu_0nI$

• 只适用于真空中或非铁磁材料中

#### 螺绕环内的磁感应强度 (P311)

$B=\mu_0nI$

• 只适用于真空中或非铁磁材料中

### 磁场对电流的作用

#### Ampère 定律

$\mathrm{d}\bm{F}=I\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B}$

$\bm{F}=\int_LI\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B}$

#### 两平行长直导线的相互作用

$f=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I_1I_2}{a}$

#### 磁场对载流线圈的作用

$\bm{M}=\bm{m}\times\bm{B}$

$$\alpha:=\lang\bm{B},\bm{m}\rang$$

• 匀强磁场中:
• $$\alpha=0$$, $$\bm{M}=\bm{0}$$, 稳定平衡
• $$\alpha=\pi$$, $$\bm{M}=\bm{0}$$, 不稳定平衡
• $$\alpha=\frac{\pi}{2}$$, $$\bm{M}$$ 最大
• $$\alpha$$ 减小方向转动

### 带电粒子在磁场中的运动

• 磁聚焦

• Hall 效应

Hall 系数 $$K_H=\frac{1}{nq}$$

### 磁介质的磁化

• 磁介质

• 顺磁质

• 铁磁质

• 抗磁质

• 磁化

• 磁化强度：单位体积内分子磁矩矢量和

$\bm{M}:={\sum\bm{m}\over\Delta\tau}$

• 均匀磁化

#### 磁化电流

$$i'$$

• $M=i'$
• $\bm{B}=\bm{B}_0+\mu_0\bm{M}$

#### 磁化强度与磁化电流的关系

$\oint_L\bm{M}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\sum_{\text{In}~L}I'$

• 介质表面: $$\bm{M}\times\bm{e}_n=\bm{i}'$$

介质表面磁化电流密度只与磁化强度沿表面的切向分量有关，而与法向分量无关

#### 有磁介质的 Ampère 环路定理

• 磁场强度 $\bm{H}:={\bm{B}\over\mu_0}-\bm{M}$

$\oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_V\bm{j}_0\cdot\mathrm{d}\bm{S}$

$\nabla\times\bm{H}=\bm{j}_0$

• 对于各向同性的顺磁质和抗磁质

• 磁化率 $$\chi_m$$ $\bm{M}=\chi_m\bm{H}$

• 相对磁导率 $$\mu_r:=1+\chi_m$$ $\bm{B}=\mu_0\mu_r\bm{H}$

• 绝对磁导率 $$\mu:=\mu_0\mu_r$$

• 顺磁质: $$\chi_m>0,\mu_r\gtrapprox 1$$

• 铁磁质: $$\chi_m,\mu_r$$ 均很大，且是 $$\bm{M}$$ 的非单值函数

• 抗磁质: $$\chi_m<0,\mu_r\lessapprox 1$$

• 真空: $$\chi_m=0,\mu_r=1$$

#### 边界条件

• 从一种介质过渡到另一种介质，磁感应强度的法向分量不变
• 从一种介质过渡到另一种介质，磁场强度的切向分量不变

#### 对比

$$\displaystyle\bm{P}:={\sum\bm{p}\over\Delta\tau}$$$$\displaystyle\bm{M}:={\sum\bm{m}\over\Delta\tau}$$
$$\bm{P}\cdot\bm{e}_n=\sigma'$$$$\bm{M}\times\bm{e}_n=\bm{i}'$$
$$\displaystyle\oint_S\bm{P}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=-\int_V\mathrm{d}q$$$$\displaystyle\oint_L\bm{M}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_V\bm{j}'\mathrm{d}V$$

$$\bm{D}:=\epsilon_0\bm{E}+\bm{P}$$$$\bm{H}:={\bm{B}\over\mu_0}-\bm{M}$$

$$\epsilon_r:=1+\chi_e$$$$\mu_r:=1+\chi_m$$

$$\epsilon:=\epsilon_0\epsilon_r$$$$\mu:=\mu_0\mu_r$$

$$\bm{E}$$ 的切向分量不变$$\bm{H}$$ 的切向分量不变

### 铁磁性

• 自发磁化强度

• 居里温度

• 铁磁质 -> 顺磁质
• 磁畴

• 外加磁场较小时
• 外加磁场较大时
• 磁滞现象

• 饱和磁化强度 $$M_s$$

• 剩余磁化强度 $$M_r$$

• 矫顽力 $$H_c$$

• 磁滞回线

• 软磁材料

• 硬磁材料

• 矩磁材料

• 微波磁材料

## Ch 12. 电磁感应和 Maxwell 电磁理论

### 电磁感应及其基本规律

• 感应电荷

$q_i=\int_{t_1}^{t_2}I_i\mathrm{d}t=\int_{\Phi_1}^{\Phi_2}-\frac{1}{R}\mathrm{d}\Phi=\frac{\Phi_1-\Phi_2}{R}$

• 动生电动势

• 不闭合导体 $$\epsilon_i=\int_L(\bm{v}\times\bm{B})\mathrm{d}\bm{l}$$
• 闭合导体 $$\epsilon_i=\oint_L(\bm{v}\times\bm{B})\mathrm{d}\bm{l}$$
• 感生电动势

• 不闭合导体 $$\epsilon_i=\int_L\bm{E}_W\mathrm{d}\bm{l}$$
• 闭合导体 $$\epsilon_i=\oint_L\bm{E}_W\mathrm{d}\bm{l}$$
• 全电场 $$\bm{E}=\bm{E}_C+\bm{E}_W$$

$\oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$

$\nabla\times\bm{E}=-{\partial\bm{B}\over\partial t}$

• 感生电场与磁场变化率成左螺旋关系

### 互感和自感

#### 互感

$\Phi_{12}=M_{12}I_1$

• 互感电动势

$\epsilon_2=-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}(M_{12}I_1)$

线圈的形状 , 大小相对位置保持不变时

$\epsilon_2=-M_{12}{\mathrm{d}I_1\over\mathrm{d}t}$

• $$M_{12}=M_{21}$$

• 当线圈内或周围空间没有铁磁质时，$$M$$ 仅由线圈几何形状 , 大小 , 匝数相对位置决定

• 若线圈内或周围空间存在非铁磁质时，$$M$$ 还与磁介质的磁导率有关

• 当线圈内或周围空间存在铁磁质时，$$M$$ 还与线圈中的电流有关

• 单位: $$\mathrm{H}$$, $$1\mathrm{ H}=1\mathrm{ Wb\cdot A^{-1}}=1\mathrm{ V\cdot s\cdot A^{-1}}$$

• 互感干扰

#### 自感

$\Phi=LI$

• 自感电动势 $\epsilon=-{\mathrm{d}\over\mathrm{d}t}(LI)$ 线圈的形状 , 大小保持不变，且不存在铁磁质$\epsilon=-L{\mathrm{d}I\over\mathrm{d}t}$

• 单位: $$\mathrm{H}$$, $$1\mathrm{ H}=1\mathrm{ Wb\cdot A^{-1}}=1\mathrm{ V\cdot s\cdot A^{-1}}$$

• 自感电弧

#### 两嵌套螺线管的互感 (P10)

$M=\mu_0\frac{N_1N_2}{l}S$

#### 螺线管的自感 (P10)

$L=\mu n^2V$

#### 两线圈串联后的自感

$$L_1,L_2,M$$

• 顺接 $$L=L_1+L_2+2M$$
• 反接 $$L=L_1+L_2-2M$$

• 涡流
• 电磁阻尼
• 趋肤效应

### 磁场的能量

• 磁场能量密度 $$w_m$$

$w_m=\int_0^BH\mathrm{d}B$

适用于真空和各向同性的磁介质

• 各向同性的顺磁质和抗磁质

$w_m=\frac{1}{2}BH$

$W_m=\int_Vw_m\mathrm{d}V=\frac{1}{2}\int_VBH\mathrm{d}V$

• 由各向同性的顺磁质或抗磁质作为磁芯的螺线管 (自感磁能)

$W_m=\frac{1}{2}LI^2$

• 电磁场

• 能量密度 $$w=\frac{1}{2}(\bm{E}\cdot\bm{D}+\bm{B}\cdot\bm{H})$$
• 能量 $$\displaystyle W=\frac{1}{2}\int_V(\bm{E}\cdot\bm{D}+\bm{B}\cdot\bm{H})\mathrm{d}V$$

### 超导体的电磁特性

• 临界温度 $$T_C$$

• 临界磁场

$B_C(T)=B_0\left(1-\left(\frac{T}{T_C}\right)^2\right)$

• 超导态: $$T<T_C$$$$B<B_C$$

• 临界电流

$I_C(T)=I_0\left(1-\left(\frac{T}{T_C}\right)^2\right)$

$$I>I_C$$ 时，超导态变为正常态

• 零电阻性

• 不存在随时间变化的磁场 ($$\displaystyle{\partial\bm{B}\over\partial t}=-\nabla\times\bm{E}=0$$)
• 完全抗磁性 (Meissner 效应)

• 同位素效应 $$T\propto A_r^{-1/2}$$

电子与晶格之间的相互作用是超导现象中的重要因素

### Maxwell 电磁理论

#### 位移电流

$\bm{j}_d:={\partial\bm{D}\over\partial t}=\epsilon{\partial\bm{E}\over\partial t}+{\partial\bm{P}\over\partial t}$

• 全电流密度 $$\bm{j}:=\bm{j}_0+\bm{j}_d$$

#### Maxwell 方程组

• Gauss 定理

$\oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\int_V\rho_0\mathrm{d}V$

• 电场环路定理

$\oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S}$

• 磁场的 Gauss 定理

$\oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}S=0$

• Ampère 环路定理

$\oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_S\left(\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\bm{S}$

##### 积分形式

$\begin{cases} \oint_S\bm{D}\cdot\mathrm{d}\bm{S}&=\int_V\rho_0\mathrm{d}V\\ \oint_L\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}&=-\int_S{\partial\bm{B}\over\partial t}\cdot\mathrm{d}\bm{S}\\ \oint_S\bm{B}\cdot\mathrm{d}S&=0\\ \oint_L\bm{H}\cdot\mathrm{d}\bm{l}&=\int_S\left(\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\bm{S} \end{cases}$

##### 微分形式

$\begin{cases} \nabla\cdot\bm{D}&=\rho_0\\ \nabla\times\bm{E}&=-{\partial\bm{B}\over\partial t}\\ \nabla\cdot\bm{B}&=0\\ \nabla\times\bm{H}&=\bm{j}_0+{\partial\bm{D}\over\partial t} \end{cases}$

##### 边界条件

$\begin{cases} D_{1n}=D_{2n}\\ E_{1t}=E_{2t}\\ B_{1n}=B_{2n}\\ H_{1t}=H_{2t} \end{cases}$

##### 对真空中和各向同性的介质
• 在遇到电磁场与物质的相互作用时需补充 $\begin{cases} \bm{D}&=\epsilon_0\epsilon_r\bm{E}\\ \bm{B}&=\mu_0\mu_r\bm{H}\\ \bm{j}_0&=\sigma\bm{E} \end{cases}$
• 存在非静电性电场 $$K$$ 时，$$\bm{j}_0=\sigma(\bm{E}+\bm{K})$$

### 电磁波的产生和传播

#### LC 振荡电路

$f={1\over2\pi\sqrt{LC}}$

• 发射电磁波的条件
• 频率高
• 电路开放

#### 偶极振子

• 平均能流密度 $$\bar{S}=\frac{1}{2}E_0H_0$$

• 性质:

• 正比于频率的四次方
• 反比于离开振子中心的平方
• 正比于 $$\sin^2\theta$$ ($$\theta$$ 为传播方向与极轴的夹角), 具有强烈的方向性，垂直于轴线方向的辐射最强，沿轴线方向的辐射为 $$0$$
• 瞬时能流密度 $$\bm{S}=\bm{E}\times\bm{H}$$

## Ch 13. 电路和磁路

### Kirchhoff 定律

#### Kirchhoff 第一定律

• 约定流出结点的电流为正，流入结点的电流为负

#### Kirchhoff 第二定律

• 约定
• 电流沿绕行方向时，电势降为正
• 电源电动势沿绕行方向时为正

### 交流电和交流电路的基本概念

#### 物理量

##### 阻抗和相位差

$Z:=\frac{U_0}{I_0}=\frac{U}{I}$

$\varphi:=\varphi_u-\varphi_i$

#### 纯电阻

$Z=R,\varphi=0$

$u(t)=U_0\cos\omega t$

$i(t)=I_0\cos\omega t$

#### 纯电感

$Z=\omega L,\varphi=\frac{\pi}{2}$

$u(t)=U_0\cos\omega t$

$i(t)=I_0\cos(\omega t-\frac{\pi}{2})$

#### 纯电容

$Z=\frac{1}{\omega C},\varphi=-\frac{\pi}{2}$

$u(t)=U_0\cos\omega t$

$i(t)=I_0\cos(\omega t+\frac{\pi}{2})$

• RL 串联
• RC 并联

### 交流电路的复数解法

$\tilde{U}=U_0e^{j(\omega t+\varphi_u)}$

$\tilde{I}=I_0e^{j(\omega t+\varphi_i)}$

$\tilde{Z}={\tilde{U}\over\tilde{I}}=Ze^{j\varphi}$

#### 电阻

$\tilde{Z}_R=R$

#### 电感

$\tilde{Z}_L=j\omega L$

#### 电容

$\tilde{Z}_C=\frac{1}{j\omega C}$

#### 串联电路

$\tilde{U}=\sum_i\tilde{U_i}$

$\tilde{Z}=\sum_i\tilde{Z_i}$

#### 并联电路

$\tilde{I}=\sum_i\tilde{I_i}$

${1\over\tilde{Z}}=\sum_i{1\over\tilde{Z_i}}$

#### Kirchhoff 方程组

$\sum\pm\tilde{I}=0$

$\sum\pm\tilde{I}\tilde{Z}=\sum\pm\tilde{E}$

#### RLC 串联电路

$\tilde{Z}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$

• $$\omega<{1\over\sqrt{LC}}$$: 电压落后电流，表现为容抗性

### 交流电的功率

#### 瞬时功率

$p(t)=u(t)i(t)=\frac{1}{2}U_0I_0(\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi))=UI(\cos\varphi+\cos(2\omega t-\varphi))$

#### 平均功率

$P=\frac{1}{T}\int_0^Tp(t)\mathrm{d}t=UI\cos\varphi$

• $$\cos\varphi$$: 功率因数，有功功率在视在功率中所占比例

• 纯电阻电路: $$P=UI$$
• 纯电感 / 纯电容电路: $$P=0$$, 正值功率等于负值功率
• 视在功率

$S=UI$

单位: $$\mathrm{V\cdot A}$$

• 额定视在功率 (容量)
• 有功功率

$P=I^2Z\cos\varphi=I^2\Re\tilde{Z}$

单位: $$\mathrm{W}$$

• 无功功率

$P_q=I^2Z\sin\varphi=I^2\Im\tilde{Z}$

单位: $$\mathrm{Var}$$

$S^2=P^2+P_q^2$

### 磁路和磁路定律

#### 磁介质分界面上磁感应线的折射

$\frac{\tan i}{\tan r}={\mu_{r1}\over\mu_{r2}}$

• 漏磁

• 串联磁路

• 并联磁路

#### 磁路定律

• 单回路

$NI_0=\Phi\sum_i\frac{l_i}{\mu_iS_i}$

• $$NI_0$$: 磁通势，$$\epsilon_m$$
• $$\frac{l_i}{\mu_iS_i}$$: 磁阻，$$R_{mi}$$
• $$\Phi R_{mi}$$: 磁势降落

$\epsilon_n=\Phi\sum_iR_{mi}$

闭合磁路磁通势等于各段磁路上的磁势降落之和

• 有效磁导率 (与相同空心螺绕环的比值) $$\mu_e:=\frac{\Phi}{\Phi_0}$$

• 开气隙使磁导率大幅下降，但能极大改善器件的温度稳定性

## Ch 14. 光学

### 光波及其相干条件

• 波速 $$u={1\over\sqrt{\epsilon\mu}}$$

• 折射率 $$n=\frac{c}{u}=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}$$

• 能量密度 $$w=\frac{1}{2}\epsilon E^2+\frac{1}{2}\mu H^2$$

• 能流密度 $$S=wu=EH$$

• 坡印廷矢量 $$\bm{S}=\bm{E}\times\bm{H}$$
• 强度 $$I=\bar{S}=\frac{n}{2\mu c}E_0^2$$

• 相对强度 $$I=E_0^2$$

• 沿 $$r$$ 方向传播的平面电磁波 $$\bm{E}=\bm{E}_0\cos(\omega t-\bm{k}\cdot\bm{r}+\varphi_0)$$

#### 光程

$$l=nx$$

• 等光程原理

#### 干涉

• 频率相同

• 存在互相平行的振动分量

• 具有固定的相位关系

• 干涉加强 光程差为半波长偶数倍

• 干涉减弱 光程差为半波长奇数倍

#### 获得相干波的方法

##### 分波前法
• 杨氏双缝干涉

• 光程差 $$\Delta=\frac{2a}{D}x$$

• 亮条纹条件 $$2\frac{r_2-r_1}{\lambda}=2k$$ (光程差为半波长偶数倍)

$$x=\frac{D}{2a}2k\frac{\lambda}{2}$$

• 暗条纹条件 $$2\frac{r_2-r_1}{\lambda}=2k+1$$ (光程差为半波长奇数倍)

$$x=\frac{D}{2a}(2k+1)\frac{\lambda}{2}$$

##### 分振幅法
• 薄膜干涉

• 等倾干涉

• 光程差 $$\Delta=2ne\cos r+\frac{\lambda}{2}$$
• 等厚干涉

• 光程差 $$\Delta=2ne+\frac{\lambda}{2}$$

• 空气劈尖

• 厚度 $$h=\frac{\lambda}{2l}L$$, $$l$$ 相邻条纹间距
• Newton 环

• 气隙厚度 $$e=\frac{r^2}{2R}$$
• 暗环半径 $$r=\sqrt{kR\lambda}$$
• Michelson 干涉

• 干涉环移过 $$m$$ 个条纹，平移距离 $$d=m\frac{\lambda}{2}$$
• 偏振光干涉

### 衍射

#### Fraunhofer 衍射

• 单缝

• 光强 $$I_P=I_0(\frac{\sin\alpha}{\alpha})^2$$

• $$\alpha=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi a}{\lambda}\sin\varphi$$

• $$\alpha=0$$: 主极大

• $$\alpha=k\pi$$: 暗条纹

• 第一暗条纹的衍射角 $$\varphi_0=\arcsin\frac{\lambda}{a}\approx\frac{\lambda}{a}$$
• 次极大 $$A_p=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}$$

• 明纹条件 $${\mathrm{d}A_p\over\mathrm{d}\alpha}=0\implies\tan\alpha=\alpha$$

• 圆孔

• 中央亮斑半角宽度 $$1.22\frac{\lambda}{D}$$, 半径 $$1.22\frac{\lambda f}{D}$$
• Rayleigh 判据
• 最小分辨角 $$\theta_0=1.22\frac{\lambda}{D}$$
• 光学系统分辨率 $$1\over\theta_0$$

## 主要参考资料

• 物理学 (第五版). 刘克哲，张承琚，刘建强，宋洪晓. 2018.8