集合论 04 - R^n 上的点集
本篇主要介绍 \(\mathbb{R}^n\) 上点集的相关概念，并会介绍 \(\mathbb{R}^n\) 上的一些特殊点集
欧氏空间的相关定义略，详情请参照高等代数相关章节
一些概念
本章将给出一大堆定理 (建议当字典用)
定义 - 1-1 设 \(E\subseteq\mathbb{R}^n\), 称
\[ \operatorname{diam}(E):=\sup\{|x-y|:x,y\in E\} \]
为 \(E\) 的直径
若 \(\operatorname{diam}(E)<+\infty\), 则称 \(E\) 为有界集
定义 - 1-2 设
- \(x_0\in\mathbb{R}^n\)
- \(\delta\in\mathbb{R}^+\)
则
称点集
\[ \{x\in\mathbb{R}^n:|x-x_0|<\delta\} \]
为以 \(x_0\) 为中心，\(\delta\) 为半径的开球 (或 \(x_0\) 的邻域), 记为 \(B(x_0,\delta)\)
称点集
\[ \{x\in\mathbb{R}^n:|x-x_0|\leqslant\delta\} \]
为以 \(x_0\) 为中心，\(\delta\) 为半径的闭球 , 记为 \(C(x_0,\delta)\)
称点集
\[ \{x\in\mathbb{R}^n:|x-x_0|=\delta\} \]
为以 \(x_0\) 为中心，\(\delta\) 为半径的球面
定义 - 1-3 设
- \(a_i,b_i\in\mathbb{R},~i=1,2,...,n\)
- \(a_i<b_i,~i=1,2,...,n\)
则
- 称点集 \[ \prod_{i=1}^n(a_i,b_i) \] 为 \(\mathbb{R}^n\) 上的开矩体
- 称点集 \[ \prod_{i=1}^n[a_i,b_i] \] 为 \(\mathbb{R}^n\) 上的闭矩体
另外，称 \(b_i-a_i\) 为矩体的边长 , 若矩体各边长相等，则称该矩体为方体
矩体常用 \(I\), \(J\) 等表示，其体积用 \(|I|\), \(|J|\) 等表示
显然，对于矩体 \(I=\prod_{i=1}^n(a_i,b_i)\), 有
- \[ \operatorname{diam}(I)=\left(\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)^2\right)^\frac{1}{2} \]
- \[ |I|=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i) \]
定义 - 1-4 设 \(x_k\in\mathbb{R}^n,~k=1,2,...\), 若
\[ \exists x\in\mathbb{R}^n,~s.t.~\lim_{k\to\infty}|x_k-x|=0 \]
则称点列 \(\{x_k\}\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中的收敛点列 , 称 \(x\) 为其极限 , 简记为
\[ \lim_{k\to\infty}x_k=x \]
不难证明 \(\mathbb{R}^n\) 上的 Cauchy 收敛定理，故此处省略
定义 - 1-5 设 \(E\subseteq\mathbb{R}^n\)
若
\[ \exists x\in\mathbb{R}^n,\exists \{x_k\}\subseteq E,~s.t.~\lim_{k\to\infty}x_k=x \]
则称 \(x\) 为 \(E\) 的聚点 (或极限点)
\(E\) 上的全体聚点称为 \(E\) 的导集 , 记为 \(E'\)
若
\[ \exists x\in E,\forall \{x_k\}\subseteq E,~s.t.~\lim_{k\to\infty}x_k\ne x \]
则称 \(x\) 为 \(E\) 的孤立点 , 显然 \(x\in E\setminus E'\)
例 - 1-1 设 \(E=\{\sqrt{m}-\sqrt{n}:m,n\in\mathbb{N}\}\), 则 \(E'=\mathbb{R}\)
注意到 \(\forall x\in\mathbb{R}\), 令
\[ x_n=\sqrt{\lfloor (x+n)^2\rfloor}-\sqrt{n^2} \]
则
\[ \sqrt{(x+n)^2-1}-n<x_n<x \]
显然
\[ \lim_{n\to\infty}x_n=x \]
定理 - 1-1 设 \(E\subseteq\mathbb{R}^n\), 则
\[ x\in E'\iff\forall\delta>0,~(B(x,\delta)\setminus\{x\})\cap E\ne\varnothing \]
证明略
定理 - 1-3 (Bolzano-Weierstrass 定理)
\(\mathbb{R}^n\) 中任一有界无限点集均至少有一个聚点
Proof
对 \(\mathbb{R}\) 上的 Bolzano-Weierstrass 定理用数学归纳法即可
习题
题 - 1-1
证明：设 \(\{a_n\}\) 为 \(\mathbb{R}\) 中的有界点列，且
\[ |a_{n+1}-a_n|\geqslant 1,~n=1,2,... \]
则 \(\{a_n\}\) 可能有无穷多个聚点
Proof
令
\[ a_n=\begin{cases} \frac{1}{p}+\frac{1}{q},&2\nmid n\\ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}+4,&2\mid n\\ \end{cases},~p,q=1,2,...;n=1,2,... \]
其中 \((p,q)\) 随 \(\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor\) 递增按
\[ (1,1)\to(1,2)\to(2,1)\to(3,1)\to(2,2)\to(1,3)\to(1,4)\to... \]
顺序赋值
则
- \[ \{a_n\}'=\left\{ \frac{1}{n}\right\} \]
- \[ |a_{n+1}-a_n|\geqslant 1,~n=1,2,... \]