集合论 01 - 基本概念

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本篇主要介绍集合论中的基础概念

集合是数学中无法被准确定义的概念之一

基本定义

集合族，指标集

定义 - 1-1 令 \(I\) 为一集合，称

\[ \{A_{\alpha}:\alpha\in I\} \]

为 集合族 , 记作 \(\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in I}\)

其中 \(I\) 称为 指标集

当 \(I=\mathbb{N}^+\) 时，集合族也称作 集合列 , 可简记为 \(\{A_k\}\)

二元关系

定义 - 1-2 令 \(A\) 为一集合，称 \(A\times A\) 的子集为 \(A\) 上的一 二元关系

显然，\(A\) 上的所有二元关系也构成集合，我们令其为 \(\mathscr{B}(A):=\mathscr{P}(A\times A)\)

类似的，我们可以定义多元关系，此处略去不表

我们对二元关系定义几种性质

定义 - 1-3 设 \(A\) 为一集合，\(\sigma\in\mathscr{B}(A)\)

  1. 自反性: \((\forall a\in A),a~\sigma~a\)
  2. 反自反性: \((\forall a\in A),a~\overline{\sigma}~a\)
  3. 对称性: \((\forall a,b\in A),a~\sigma~b\iff b~\sigma~a\)
  4. 反对称性: \((\forall a,b\in A),a~\sigma~b~\&~b~\sigma~a\implies a=b\)
  5. 传递性: \((\forall a,b,c\in A),a~\sigma~b~\&~b~\sigma~c\implies a~\sigma~c\)

对称差

定义 - 1-4 令 \(A,B\) 为两集合，称

\[ (A\setminus B)\cup(B\setminus A) \]

为 \(A\) 与 \(B\) 的 对称差集 , 记作 \(A\triangle B\)

显然，对称差有如下性质:

  1. \(A\triangle\varnothing=A\), \(A\triangle A=\varnothing\)
  2. \(A\triangle A^c=X\), \(A\triangle X=A^c\), 其中 \(X\) 为全集
  3. \(A\triangle B=B\triangle A\)
  4. \((A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)\)
  5. \(A\cap(B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)\)
  6. \(A^c\triangle B^c=A\triangle B\)
  7. \(A\triangle B=A\iff B=\varnothing\)
  8. \((\forall A,B),\exists_1 E~s.t.~E\triangle A=B\) (\(E=A\triangle B\))

集合列的极限

众所周知，极限是研究无限性质的重要工具，我们首先对单调的集合列给出极限的定义

定义 - 1-5

  • 设集合列 \(\{A_k\}\) 满足 \[ A_k\subseteq A_{k+1},~\forall k\in\mathbb{N}^+ \] 则称其为 递增集合列 , 定义 \(\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}A_k\) 为该集合列的 极限集
  • 设集合列 \(\{A_k\}\) 满足 \[ A_k\supseteq A_{k+1},~\forall k\in\mathbb{N}^+ \] 则称其为 递减集合列 , 定义 \(\displaystyle\bigcap_{k=1}^{\infty}A_k\) 为该集合列的 极限集

例 - 1-1 设在 \(\mathbb{R}\) 上有一函数列满足

  • \[ f_i(x)\leqslant f_{i+1}(x),~i\in\mathbb{N}^+ \]
  • \[ \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) \]

对给定实数 \(t\), 作集合列

\[ E_n=\{x:f_n(x)>t\},~n\in\mathbb{N}^+ \]

显然集合列 \(\{E_n\}\) 递增，且

\[ \lim_{n\to\infty}E_n=\{x:f(x)>t\} \]

对一般的集合列，我们可以参照 定义 - 1-5 给出上下极限的定义

定义 - 1-6 设 \(\{A_k\}\) 为一集合列，称

  • \[ \bigcap_{i=1}^{\infty}\bigcup_{k=i}^{\infty}A_k \]

    为 \(\{A_k\}\) 的 上极限集 , 记作 \(\displaystyle\limsup_{k\to\infty}A_k\)

  • \[ \bigcup_{i=1}^{\infty}\bigcap_{k=i}^{\infty}A_k \]

    为 \(\{A_k\}\) 的 下极限集 , 记作 \(\displaystyle\liminf_{k\to\infty}A_k\)

例 - 1-2 设 \(E,F\) 为两集合，

\[ A_n=\begin{cases} E,&2\mid n\\ F,&2\nmid n \end{cases},~n\in\mathbb{N}^+ \]

则 \(\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n=E\cup F,~\liminf_{n\to\infty}A_n=E\cap F\)

下列命题显然成立

命题 - 1-1 设 \(E\) 为一集合，\(\{A_k\}\) 为一集合列，则

  1. \[ E\setminus\limsup_{n\to\infty}A_n=\liminf_{n\to\infty}(E\setminus A_n) \]
  2. \[ E\setminus\liminf_{n\to\infty}A_n=\limsup_{n\to\infty}(E\setminus A_n) \]

定理 - 1-1 若 \(\{A_k\}\) 为一集合列，则

  1. \[ \limsup_{n\to\infty}A_n=\{x:(\forall j\in\mathbb{N}^+,\exists k\geqslant j),~x\in A_k\} \]
  2. \[ \liminf_{n\to\infty}A_n=\{x:(\exists j\in\mathbb{N}^+,\forall k\geqslant j),~x\in A_k\} \]

即

  • \(\{A_k\}\) 的上限集是由属于 \(\{A_k\}\) 中无限多集合的元素构成
  • \(\{A_k\}\) 的下限集是由不属于 \(\{A_k\}\) 中有限多集合的元素构成

Proof

\[ \begin{aligned} x\in\limsup_{n\to\infty}A_n&\iff\forall j\in\mathbb{N}^+,~s.t.~x\in\bigcup_{k=j}^{\infty}A_k\\ &\iff\forall j\in\mathbb{N}^+,\exists k\geqslant j,~x\in A_k \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} x\in\liminf_{n\to\infty}A_n&\iff\exists j\in\mathbb{N}^+,~s.t.~x\in\bigcap_{k=j}^{\infty}A_k\\ &\iff\exists j\in\mathbb{N}^+,\forall k\geqslant j,~x\in A_k \end{aligned} \]

推论 - 1-1 若 \(\{A_k\}\) 为一集合列，则

\[ \limsup_{n\to\infty}A_n\supseteq\liminf_{n\to\infty}A_n \]

直积

定义 - 1-7 令 \(X,Y\) 为两集合，称 \(\{(x,y):x\in X,y\in Y\}\) 为 \(X,Y\) 的直积集 , 记作 \(X\times Y\)

\(X\times X\) 也可记作 \(X^2\)

例题

题 - 1-1

设 \(\{f_n(x)\}\) 以及 \(f(x)\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的函数

证明：使 \(f_n(x)\) 不收敛到 \(f(x)\) 的一切点 \(x\) 组成的集合为

\[ D=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac{1}{k}\right\} \]

Proof

若 \(f_n(x_0)\) 不收敛到 \(f(x_0)\), 则

\[ \exists k\in\mathbb{N}^+,\forall N\in\mathbb{N}^+,\exists n\geqslant N,~s.t.~|f_n(x_0)-f(x_0)|\geqslant\frac{1}{k} \]

令 \(E_{n,k}=\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac{1}{k}\right\}\), 则

\[ \exists k\in\mathbb{N}^+,x_0\in\limsup_{n\to\infty}E_{n,k} \]

反之，\(\forall k\in\mathbb{N}^+,x\in\limsup_{n\to\infty}E_{n,k}\) 显然不是收敛点

从而

\[ x_0\in\bigcup_{k=1}^{\infty}\limsup_{n\to\infty}E_{n,k}=\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{N=1}^{\infty}\bigcup_{n=N}^{\infty}\left\{x:|f_n(x)-f(x)|\geqslant\frac{1}{k}\right\}=D \]

题 - 1-2

设 \(\{f_n(x)\}\) 以及 \(f(x)\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的函数，且 \(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\)

证明:

\[ \forall t\in\mathbb{R},\{x:f(x)\leqslant t\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\left\{x:f_n(x)<t+\frac{1}{k}\right\} \]

Proof

令 \(E_{n,k}=\left\{x:f_n(x)<t+\frac{1}{k}\right\}\), 则

\[ \begin{aligned} x_0\in\{x:f(x)\leqslant t\}\iff&\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)=f(x_0)\leqslant t\\ \iff&\forall k\in\mathbb{N}^+,\exists N\in\mathbb{N}^+,\forall n\geqslant N,~f_n(x_0)<t+\frac{1}{k}\\ \iff&\forall k\in\mathbb{N}^+,x_0\in\liminf_{n\to\infty}E_{n,k}\\ \iff&x_0\in\bigcap_{k=1}^{\infty}\liminf_{n\to\infty}E_{n,k}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\left\{x:f_n(x)<t+\frac{1}{k}\right\} \end{aligned} \]

题 - 1-3

设 \(a_n\to a~(n\to\infty)\)

证明:

\[ \bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\left(a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}\right)=a \]

Proof

令 \(E_{n,k}=\left(a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}\right)\), 则

\[ \begin{aligned} a_0\in\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{n=N}^{\infty}\left(a_n-\frac{1}{k},a_n+\frac{1}{k}\right)=\bigcap_{k=1}^{\infty}\liminf_{n\to\infty}E_{n,k} \iff&\forall k\in\mathbb{N}^+,a_0\in\liminf_{n\to\infty}E_{n,k}\\ \iff&a\leqslant a_0\leqslant a\\ \iff&a_0=a \end{aligned} \]