笔记 - 二次剩余，Legendre 符号与二次互反律

二次剩余

满足 \(\exists x\in\Bbb{Z}_m,\ s.t.\ x^2\equiv a\pmod m\) 的 \(a\) 为模 \(p\) 的二次剩余

• 以下所有内容假定模数为奇素数

性质

1. 来自 笔记 - 原根与指数 (离散对数) 中 3.1.2 的特化

   1. \(a\) 为模 \(m\) 的二次剩余 \(\iff 2\mid\operatorname{ind}_ga\iff a^\frac{m-1}{2}\equiv1\pmod m\)

   2. \(a\) 为模 \(m\) 的二次剩余

      \(\implies|\{x|x^2\equiv a\pmod m\}|=2,\{x|x^2\equiv a\pmod m\}=\{\overline{g^{ {\operatorname{ind}_ga\over 2}+i\frac{m-1}{2} } }|i=0,1\}\)

   3. 模 \(m\) 的二次剩余共 \(\frac{m-1}{2}\) 个，分别为 \(a\equiv g^{2i},i=0,...,\frac{m-3}{2}\); 模 \(m\) 的非二次剩余共 \(\frac{m-1}{2}\) 个，分别为 \(a\equiv g^{2i+1},i=0,...,\frac{m-3}{2}\)

2. 在 \(p\nmid ab\) 时，\((\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})\)

Legendre 符号

\(\displaystyle\Big(\frac{a}{p}\Big)=\begin{cases} 0&,p\mid a\\ 1&,p\nmid a\land\exists x\in\Bbb{Z}_p,\ s.t.\ x^2\equiv a\pmod p\\ -1&,p\nmid a\land\nexists x\in\Bbb{Z}_p,\ s.t.\ x^2\equiv a\pmod p\\ \end{cases}\)

\(\displaystyle\Big(\frac{a}{p}\Big)\equiv a^\frac{p-1}{2}\pmod p\)

\((\frac{-1}{p})=(-1)^\frac{p-1}{2}=\begin{cases} 1&,p\equiv1\pmod 4\\ -1&,p\equiv3\pmod 4\\ \end{cases}\)

性质

1. \((\frac{ab}{p})=(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})\) (完全积性)
2. \(a\equiv b\pmod p\implies(\frac{a}{p})=(\frac{b}{p})\)
3. \(x^2\equiv a\pmod p\) 的解数为 \(1+(\frac{a}{p})\)
4. Gauss 引理 (证明用途更大，略)

二次互反律

设 \(p\ne q\)

\[ (\frac{p}{q})(\frac{q}{p})=(-1)^{ \frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2} }=\begin{cases} -1&,p\equiv q\equiv3\pmod 4\\ 1&,otherwise \end{cases} \]