数值分析实验 - 函数逼近与曲线拟合

数值分析实验 3 - 函数逼近与曲线拟合

实验要求和目的

在某冶炼过程中,根据统计数据的含碳量与时间关系,试求含碳量 \(y\) 与时间 \(t\) 的拟合曲线

\(t~(\text{min})\)0510152025
\(y~(\times 10^{-4})\)01.272.162.863.443.87
\(t~(\text{min})\)303540455055
\(y~(\times 10^{-4})\)4.154.374.514.584.024.64

要求

  1. 用最小二乘法进行曲线拟合
  2. 近似解析表达式为 \(\varphi(t)=a_1t+a_2t^2+a_3t^3\)
  3. 打印出拟合函数 \(\varphi(t)\), 并打印出 \(\varphi(t_j)\)\(y(t_j)\) 的误差,\(j=1,2,...,12\)
  4. 另外选取一个近似表达式,尝试拟合效果的比较
  5. * 绘制出曲线拟合图

计算公式

  • 最小二乘法原理 (参见 笔记 - 对称双线性度量空间与线性方程组)

    \(A=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n),~\alpha_i\in\mathbb{R}^m,i=1,2,...,n\), 寻找 \(AX=B\) 的最小二乘解 \((x_1,x_2,\dots,x_n)^T\) 即为寻找一组实数 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 使得

    \[ \left|B-\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i\right|^2=\sum_{i=1}^n\left(b_1-\sum_{j=1}^na_{ij}x_j\right)^2\tag{1} \]

    的值最小

    此时取的 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 只需使 \(\sum_{i=1}^nx_i\alpha_i\)\(B\)\(G[\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n]\) 的正射影

    这样的 \(x_1,x_2,\dots,x_n\) 是且仅是

    \[ G(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)X=((B,\alpha_0),(B,\alpha_1),\dots,(B,\alpha_n))^T\tag{2} \]

    的解,其中 \(G(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)\)\(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 的 Gram 矩阵

    \[ G(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)=A^TA \]

    \[ ((B,\alpha_0),(B,\alpha_1),\dots,(B,\alpha_n))^T=A^TB \]

    因此式 \((2)\) 即为

    \[ A^TAX=A^TB\tag{3} \]

    由正射影的存在性可知该方程一定可解,其解为 \(X=(A^TA)^{-1}A^TB\)

程序设计

主程序

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最小二乘法函数文件

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结果讨论和分析

结果

  • 拟合函数 1:

    \(3.5168482\times10^{-9}x^3 - 5.2948459\times10^{-6}x^2 + 2.6568799\times10^{-4}x\)

    • 误差:

      \(t\)0510152025
      \(\epsilon\)0.000000000.00000695-0.00000026-0.00000527-0.00000372-0.00000124
      \(t\)303540455055
      \(\epsilon\)-0.000000480.000004930.000010350.00001414-0.000042330.00001929
  • 拟合函数 2:

    \(3.4364154\times10^{-9}x^3 - 5.2155622\times10^{-6}x^2 + 2.6339853\times10^{-4}x + 1.7838828\times10^{-5}\)

    • 误差:

      \(t\)0510152025
      \(\epsilon\)-0.000001780.00000613-0.00000046-0.00000513-0.00000345-0.00000100
      \(t\)303540455055
      \(\epsilon\)-0.000000360.000004890.000010180.00001393-0.000042440.00001950
  • 图像

分析

  • 可以发现两个拟合函数图像几近重合
  • 在测试中发现当选用多项式拟合时,次数过小则误差较大,次数较大则对趋势的预测不够合理,且更易受到干扰