Namomo Spring Camp 2022 Div1 每日一题记录 (2022.02.26-2022.03.04)
子串的最大差 (CF817D)
题目链接
1 s, 1024 MB
定义序列的最大差为序列中最大数与最小数的差。比如 \((3,1,4,5,6)\) 的最大差为 \(6 - 1 = 5\), \((2,2)\) 的最大差为 \(2 - 2 = 0\)
定义一个序列的子串为该序列中连续的一段序列
给定一个长度为 \(n\) 的数组 \(a_1,a_2,\dots ,a_n\), 请求出这个序列的所有子串的最大差之和
输入格式
第一行一个数字 \(n\)
接下来一行 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)
输出格式
一个数，表示答案
样例输入
样例输出
数据规模
所有数据保证 \(1\leq n\leq 500000, 0 \leq a_i \leq 10^8\)
解题思路
DP + 单调栈
即求
\[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\left(\max_{x\in i..j}\{a_x\}-\min_{x\in i..j}\{a_x\}\right) \]
令
- \[ L_i=\max(\{0\}\cup\{x<i\mid a_x>a_i\}) \]
- \[ R_i=\min(\{n+1\}\cup\{x>i\mid a_x>a_i\}) \]
- \[ l_i=\max(\{0\}\cup\{x<i\mid a_x<a_i\}) \]
- \[ r_i=\min(\{n+1\}\cup\{x>i\mid a_x<a_i\}) \]
则
\[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\left(\max_{x\in i..j}\{a_x\}-\min_{x\in i..j}\{a_x\}\right)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\max_{x\in i..j}\{a_x\}-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\min_{x\in i..j}\{a_x\}\\ &=\sum_{i=1}^n a_i(R_i-i)(i-L_i)-\sum_{i=1}^n a_i(r_i-i)(i-l_i) \end{aligned} \]
然后用单调栈把 \(L_i,R_i,l_i,r_i\) 求出来即可
复杂度
\(O(n)\)
代码参考
Show code
CodeForces_817Dview raw1
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43
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47
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54
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59
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62
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66
67
68
69
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = int64_t;
#define _for(i, l, r, vals...) \
for (decltype(l + r) i = (l), i##end = (r), ##vals; i <= i##end; ++i)
#define _rfor(i, r, l, vals...) \
for (make_signed_t<decltype(r - l)> i = (r), i##end = (l), ##vals; \
i >= i##end; \
--i)
const uint32_t OFFSET = 5;
const uint32_t N = 1e6 + OFFSET;
int a[N];
int lge[N], lle[N], rge[N], rle[N];
void solve() {
int n;
cin >> n;
_for(i, 1, n) cin >> a[i];
{
stack<int> monos;
_for(i, 1, n) {
while (!monos.empty() && a[monos.top()] < a[i]) monos.pop();
lge[i] = monos.empty() ? 0 : monos.top();
monos.push(i);
}
}
{
stack<int> monos;
_for(i, 1, n) {
while (!monos.empty() && a[monos.top()] > a[i]) monos.pop();
lle[i] = monos.empty() ? 0 : monos.top();
monos.push(i);
}
}
{
stack<int> monos;
_rfor(i, n, 1) {
while (!monos.empty() && a[monos.top()] <= a[i]) monos.pop();
rge[i] = monos.empty() ? n + 1 : monos.top();
monos.push(i);
}
}
{
stack<int> monos;
_rfor(i, n, 1) {
while (!monos.empty() && a[monos.top()] >= a[i]) monos.pop();
rle[i] = monos.empty() ? n + 1 : monos.top();
monos.push(i);
}
}
i64 ans = 0;
_for(i, 1, n)
ans += a[i] * (1ll * (rge[i] - i) * (i - lge[i]) -
1ll * (rle[i] - i) * (i - lle[i]));
cout << ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
solve();
return 0;
}
|
no crossing (CF793D)
题目链接
1 s, 1024 MB
给出一个有向图，找一条恰好经过 \(k\) 个点的最短路径，要求每次选的边不能跃过之前已经经过的节点。即对于路径中的边 \(x \rightarrow y\), 不存在以前经过的点 \(t\) 使得三者的编号满足 \(\min(x,y) \leq t \leq \max(x,y)\)
输入格式
第一行三个数字 \(n,k,m\)
接下来 \(m\) 行，每行 \(3\) 个整数 \(a_i,b_i,c_i\) 表示存在一条从 \(a_i \rightarrow b_i\), 长度为 \(c_i\) 的有向边
输出格式
一个数，表示答案。如果不存在任何一条路径满足条件，则输出 \(-1\)
样例 1 输入
1
2
3
4
5
| 7 4 4
1 6 2
6 2 2
2 4 2
2 7 1
|
样例 1 输出
样例 2 输入
1
2
3
4
5
| 4 3 4
2 1 2
1 3 2
3 4 2
4 1 1
|
样例 2 输出
数据规模
所有数据保证 \(1\leq n,k\leq 100, 0 \leq m \leq 2000, 1 \leq a_i,b_i \leq n, 1 \leq c_i \leq 1000\)
Note
样例一的最短路径为 \(1 \rightarrow 6 \rightarrow 2 \rightarrow 4\). \(1 \rightarrow 6 \rightarrow 2 \rightarrow 7\) 是不正确的，因为 \(2 < 6 < 7\)
解题思路
区间 DP + 滚动数组
如果可以跃过之前经过的结点，那直接对邻接矩阵求个快速幂就可以了
在有了上述约束后，我们不难发现随着走的步数越来越多，可以走的范围是越来越小的
所以我们这样设计状态方程
令
- \(f(k,u,v)\) 表示走了 \(k\) 步时，可以走的范围为 \((\min\{u,v\},\max\{u,v\})\), 目前在 \(v\) 处的最短路
- \(d(u,v)\) 为 \(u\) 到 \(v\) 的边权，若两点不相邻则为 \(\infty\)
则
\[ f(k,u,v)=\begin{cases} \min_{x>v}\{f(k-1,u,x)+d(x,v),f(k-1,x,u)+d(u,v)\},&u<v\\ \min_{x<v}\{f(k-1,u,x)+d(x,v),f(k-1,x,u)+d(u,v)\},&u>v\\ \end{cases} \]
显然可以用滚动数组把 \(k\) 这一维优化一下
复杂度
\(O(n^3k)\)
代码参考
Show code
CodeForces_793Dview raw1
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35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define _for(i, l, r, vals...) \
for (decltype(l + r) i = (l), i##end = (r), ##vals; i <= i##end; ++i)
#define _set_inf(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a))
template <class T>
bool chkmin(T &a, T b) {
return b < a ? a = b, true : false;
}
const uint32_t OFFSET = 5;
const uint32_t N = 80 + OFFSET;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int f[2][N][N];
int g[N][N];
void solve() {
_set_inf(g);
int n, k, m;
cin >> n >> k >> m;
_for(i, 1, m, x, y, w) {
cin >> x >> y >> w;
chkmin(g[x][y], w);
}
_set_inf(f[0]);
_for(i, 1, n) f[0][i][0] = f[0][i][n + 1] = 0;
_for(cnt, 1, k, now = 0) {
now ^= 1;
_set_inf(f[now]);
_for(l, 0, n + 1, _)
_for(r, l, n + 1)
_for(to, l + 1, r - 1) {
_ = min(f[now ^ 1][l][r] + g[l][to], f[now ^ 1][r][l] + g[r][to]);
chkmin(f[now][to][r], _);
chkmin(f[now][to][l], _);
}
}
int ans = INF;
_for(l, 0, n + 1)
_for(r, 0, n + 1) chkmin(ans, min(f[~k & 1][l][r], f[~k & 1][r][l]));
cout << (ans == INF ? -1 : ans);
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
solve();
return 0;
}
|
Dis
题目链接
1 s, 512 MB
给出 \(n\) 个点的一棵树，每个点有各自的点权，多次询问两个点简单路径所构成点集的异或和
输入格式
第一行两个数字 \(n\) 和 \(m\), \(n\) 表示点数，\(m\) 表示询问次数
接下来一行 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\), 表示每个点的点权
接下来 \(n-1\) 行，每行两个整数 \(u,v\), 表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间存在一条边
再接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(u,v\), 表示询问点 \(u\) 到点 \(v\) 的简单路径所构成点集的异或和
输出格式
输出 \(m\) 行，对于每个询问，输出一行
样例输入
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
| 7 3
0 1 2 3 4 5 6
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
4 6
4 7
5 6
|
样例输出
数据规模
所有数据保证 \(1\leq n,m \leq 200000, 1 \leq a_i \leq 10^6\)
解题思路
LCA
LCA 板子题，略
选数 (POJ2356)
题目链接
1 s, 1024 MB
给定 \(N\) 个正整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\) . 要求从其中选出若干数字，使得这些数字的和 \(mod\) \(N = 0\) (对于每个下标能且只能选择一次)
输入格式
第一行一个数字 \(N\), 表示数字个数
接下来一行 \(N\) 个整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\), 表示这 \(N\) 个数
输出格式
第一行输出 \(M\), 表示选择的数的个数
第二行输出 \(M\) 个正整数，用空格隔开，表示这些数字的下标
如果有多种方案满足要求，输出任意一种
如果没有满足要求的方案 输出 \(-1\)
样例输入
样例输出
样例解释
\(3 + 5 = 8\), \(8 \ mod \ 4 = 0\)
数据规模
所有数据保证 \(1\leq N \leq 100000, 1 \leq a_i \leq 10^9\)
解题思路
抽屉原理
以前写过题解，参见 题解 - [POJ 2356] [Ural 1032] Find a multiple
序列操作 (CF1198B)
题目链接
1 s, 1024 MB
给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,a_2,\dots ,a_n\)
你需要进行两种操作:
\(1\) \(x\) \(y\)—— 将第 \(x\) 个数变为 \(y\)
\(2\) \(y\)—— 将所有小于 \(y\) 的数修改为 \(y\)
共执行 \(q\) 次操作，输出执行完所有操作后的序列
输入格式
第一行两个数字 \(n\), \(q\) \((1 \leq n,q \leq 10^6)\)
接下来一行 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\). \((0 \leq a \leq 10^9)\)
接下来 \(q\) 行，每行表示一个操作: \(1\) \(x\) \(y\) 或 \(2\) \(y\) \((1 \leq x \leq n, 0 \leq y \leq 10^9)\)
输出格式
一行整数，表示操作完后的序列，用空格分隔
样例输入
1
2
3
4
5
6
7
| 5 5
3 6 14 16 12
2 13
2 16
1 1 1
1 2 14
2 11
|
样例输出
解题思路
别线段树了，O (n) 离线它不香嘛
注意到本题的操作 2 是全局的，而且所有操作是离线的，所以没必要用数据结构
我们可以记录操作 2 修改后的最大值，并且开个 vis 数组记录当前的数是否被操作 1 修改过，然后正向或反向暴力一遍即可
复杂度
\(O(n)\)
代码参考
Show code
CodeForces_1198Bview raw1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
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29
30
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33
34
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36
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38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
|
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define _for(i, l, r, vals...) \
for (decltype(l + r) i = (l), i##end = (r), ##vals; i <= i##end; ++i)
template <class T>
bool chkmin(T &a, T b) {
return b < a ? a = b, true : false;
}
template <class T>
bool chkmax(T &a, T b) {
return a < b ? a = b, true : false;
}
const uint32_t OFFSET = 5;
const uint32_t N = 2e5 + OFFSET, M = 2e5 + OFFSET, K = 21;
int a[N];
bool vis[N];
vector<tuple<int, int, int>> op;
void solve() {
int n, q;
cin >> n;
_for(i, 1, n) cin >> a[i];
cin >> q;
op.reserve(q);
int now_max = 0;
_for(i, 1, q, x, y, z) {
cin >> x >> y;
if (x == 1) cin >> z;
op.emplace_back(x, y, z);
}
for (auto it = op.rbegin(); it != op.rend(); ++it)
if (get<0>(*it) == 1) {
if (!vis[get<1>(*it)]) {
vis[get<1>(*it)] = 1;
a[get<1>(*it)] = max(now_max, get<2>(*it));
}
} else chkmax(now_max, get<1>(*it));
_for(i, 1, n) cout << (vis[i] ? a[i] : max(now_max, a[i])) << " \n"[i == n];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
solve();
return 0;
}
|
数数 (HDU4417)
题目链接
1 s, 1024 MB
在给定 \(N\) 长的数组 \(\{A\}\) 中进行 \(Q\) 次询问 \([L_i, R_i]\) 区间中不大于 \(H_i\) 的元素个数
共包含 \(T\) 组数据
输入格式
输入就像下面这样:
1
2
3
4
5
6
7
8
| T
N Q
A1 A2 A3 ... AN
L1 R1 H1
L2 R2 H2
..
LQ RQ HQ
..
|
输出格式
\(T\) 组数据，每组都输出一行，包含 \(Q\) 个以空格分隔的整数，表示答案
样例输入
1
2
3
4
5
6
| 1
10 3
0 5 2 7 5 4 3 8 7 7
3 9 6
4 6 0
2 4 2
|
样例输出
样例说明: \(A[3..9] = [\underline{2}, 7, \underline{5, 4, 3,} 8, 7]\), 其中不大于 \(6\) 的元素数量为 \(4\)
数据规模
- \(1 \le N, Q \le 10^5\)
- \(0 \le A_i, H \le 10^9\)
- \(1 \le L \le R \le N\)
数据保证 \(\sum N, Q \le 10 ^ 5\)
解题思路
我错了，DS 是真的香
懒得想离线做法了，直接套主席树完事
复杂度
\(O((n+q)\log n)\)
代码参考
Show code
HDU_4417view raw1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
|
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
#define _for(i, l, r, vals...) \
for (decltype(l + r) i = (l), i##end = (r), ##vals; i <= i##end; ++i)
#define _set_nul_n(a, n) memset(a, 0, sizeof(a[0]) * (n))
const uint32_t N = 1e5 + 5;
struct ptree {
int val, l, r;
} tree[N * 24];
int root[N], node_cnt;
#define PRE tree[pre]
#define PREL tree[L]
#define PRER tree[R]
#define NOW tree[now]
void modify(int pre, int l, int r, int &now, int pos) {
tree[now = ++node_cnt] = {PRE.val + 1, PRE.l, PRE.r};
if (l == r) return;
int mid = _mid(l, r);
if (pos <= mid) modify(PRE.l, l, mid, NOW.l, pos);
else modify(PRE.r, mid + 1, r, NOW.r, pos);
}
int query(int L, int R, int l, int r, int k) {
if (l == r) return k >= l ? PRER.val - PREL.val : 0;
int mid = _mid(l, r);
if (mid > k) return query(PREL.l, PRER.l, l, mid, k);
int tmp = tree[PRER.l].val - tree[PREL.l].val;
if (mid == k) return tmp;
else return tmp + query(PREL.r, PRER.r, mid + 1, r, k);
}
int a[N], b[N], b_len;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
int _t;
cin >> _t;
while (_t--) {
int n, q;
cin >> n >> q;
node_cnt = 0;
_set_nul_n(root, n + 1);
_for(i, 1, n) cin >> a[i];
_for(i, 1, n) b[i] = a[i];
sort(b + 1, b + n + 1);
b_len = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
_for(i, 1, n)
modify(root[i - 1],
1,
b_len,
root[i],
lower_bound(b + 1, b + b_len + 1, a[i]) - b);
_for(i, 1, q, l, r, h) {
cin >> l >> r >> h;
cout << query(root[l - 1],
root[r],
1,
b_len,
upper_bound(b + 1, b + b_len + 1, h) - b - 1)
<< " \n"[i == q];
}
}
}
|
Minimum Or Spanning Tree (CF1624G)
题目链接
1 s, 1024 MB
给出 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，每条边连接 \(u,v\) 两个端点，边权为 \(w\), 求图的生成树的最小代价
在这道题中，我们定义一棵生成树的代价为他所有边的边权按位或得到的值
输入格式
第一行两个数字 \(n\) 和 \(m\) , \(n\) 表示点数，\(m\) 表示图的边数
接下来 \(m\) 行，每行三个整数 \(u,v,w\), 表示点 \(u\) 和点 \(v\) 之间存在一条边权为 \(w\) 的边
输出格式
一行，描述生成树的最小代价
样例输入
1
2
3
4
5
6
7
8
| 5 7
4 2 7
2 5 8
3 4 2
3 2 1
2 4 2
4 1 2
1 2 2
|
样例输出
数据规模
所有数据保证 \(1\leq u,v\leq n\leq 2\cdot 10^5, n-1\leq m \leq 4\cdot 10^5 , 1 \leq w\leq 10^9\) 且至少存在一棵生成树
解题思路
贪心
一般来说，求按位与和按位或的最大值都可以从高往低贪心处理
假设当前我们考虑到了第 \(i\) 位，我们只需要考虑所有不会使答案增大的边构成的图是否连通即可
复杂度
\(O((n+m)\log\max w)\)
代码参考
Show code
CodeForces_1624Gview raw1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
|
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define _for(i, l, r, vals...) \
for (decltype(l + r) i = (l), i##end = (r), ##vals; i <= i##end; ++i)
#define _rfor(i, r, l, vals...) \
for (make_signed_t<decltype(r - l)> i = (r), i##end = (l), ##vals; \
i >= i##end; \
--i)
const uint32_t OFFSET = 5;
const uint32_t N = 2e5 + OFFSET, M = 2e5 + OFFSET, K = 30;
tuple<int, int, int> e[M];
int fa[N];
auto find_fa(int x) -> int {
return x == fa[x] ? fa[x] : fa[x] = find_fa(fa[x]);
}
int main() {
auto merge = [&](int x, int y) -> bool {
int fx = find_fa(x), fy = find_fa(y);
return fx == fy ? 0 : fa[fx] = fy;
};
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
int _t;
cin >> _t;
while (_t--) {
int n, m;
cin >> n >> m;
_for(i, 1, m) cin >> get<0>(e[i]) >> get<1>(e[i]) >> get<2>(e[i]);
int ans = (1 << K) - 1;
_rfor(i, K - 1, 0) {
_for(i, 1, n) fa[i] = i;
int _ = n;
ans ^= (1 << i);
_for(i, 1, m)
if ((get<2>(e[i]) | ans) == ans && merge(get<0>(e[i]), get<1>(e[i])))
--_;
ans ^= ((int)(_ != 1) << i);
}
cout << ans << '\n';
}
return 0;
}
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