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原始题面
题目描述
可能存在一个非负整数数序列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 使得 \(0\le a_i<10^9+7\)
给定 \(x_1,x_2,\dots,x_n\), \(y_1,y_2,\dots,y_n\), \(z_1,z_2,\dots,z_n\), 已知对于 \(1\le i\le n\) 满足:
\[
x_i\left(\sum_{j=1}^ia_j\right)+y_i\left(\sum_{j=i}^na_j\right)\equiv z_i\pmod{10^9+7}
\]
求 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)
输入输出格式
输入格式
本题有多组数据
第一行一个正整数 \(T\), 表示表示数据的组数。对于每一组数据:
第一行一个正整数 \(n\)
接下来 \(n\) 行，每行三个正整数 \(x_i,y_i,z_i\)
输出格式
对于每一组数据，依次输出:
第一行一个非负整数 \(k\), 为合法解数量
如果 \(k=1\), 第二行输出 \(n\) 个非负整数，依次为 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)
输入输出样例
输入样例 #1
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3 1 9
2 2 16
1 3 15
6
3 6 246
5 7 283
2 7 179
4 6 214
8 7 337
3 5 151
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输出样例 #1
说明
数据规模与约定
本题采用捆绑测试
- Subtask 1 (10 pts): \(n=1\)
- Subtask 2 (19 pts): \(\sum n\le100\)
- Subtask 3 (19 pts): \(x_i=y_i=1\)
- Subtask 4 (22 pts): 保证有唯一解
- Subtask 5 (30 pts): 无特殊限制
对于所有数据:
- \(1\le n,\sum n\le 2\times10^5\);
- \(1\le x_i,y_i<10^9+7\);
- \(0\le z_i<10^9+7\)
解题思路
令
- \(A_0=0\)
- \(A_n=\sum_{i=1}^na_i\)
- \(Y_i=-y_ix_i^{-1}\)
- \(Z_i=z_ix_i^{-1}\)
则原式变为
\[
x_iA_i+y_i(A_n-A_{i-1})\equiv z_i\pmod{10^9+7}
\]
有
\[
A_i\equiv Z_i+Y_i(A_n-A_{i-1})\pmod{10^9+7}
\]
不难观察出 \(\exists \{Z'_n\},\{Y'_n\}\) 使得
\[
A_i=Z'_i+Y'_iA_n
\]
顺次递推求出 \(\{Z'_n\}\), \(\{Y'_n\}\) 之后求出 \(\{A_n\}\), \(\{a_n\}\) 即可
另外注意由 \(A_n=Z'_n+Y'_nA_n\) 来判断解的个数
时间复杂度
\(O(n+\log p)=O(n)\), 其中 \(p=1e9+7\)
代码参考
Show code
Luogu_P7887view raw1
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using pii = pair<i64, i64>;
#define _for(i, l, r, vals...) \
for (decltype(l + r) i = (l), ##vals; i <= (r); ++i)
#define _rfor(i, r, l, vals...) \
for (decltype(r - l) i = (r), ##vals; i >= (l); --i)
const int OFFSET = 5;
const int N = 2e5 + OFFSET;
const int MOD = 1e9 + 7;
template <typename T = i64>
T inverse(T a, T b = MOD - 2, T mod = MOD) {
T res = 1;
for (; b; b >>= 1, (a *= a) %= mod)
if (b & 1) (res *= a) %= mod;
return res;
}
i64 x[N], y[N], z[N];
i64 mx[N] = {1}, inv[N];
pii coeff[N];
i64 ans[N];
pii operator*(const pii &lhs, i64 rhs) {
pii ret(lhs);
(ret.first *= rhs) %= MOD;
(ret.second *= rhs) %= MOD;
return ret;
}
pii operator+(const pii &lhs, const pii &rhs) {
return pii((lhs.first + rhs.first) % MOD, (lhs.second + rhs.second) % MOD);
}
void solve() {
int n;
cin >> n;
_for(i, 1, n) cin >> x[i] >> y[i] >> z[i];
_for(i, 1, n) mx[i] = mx[i - 1] * x[i] % MOD;
inv[n] = inverse(mx[n]);
_rfor(i, n, 1) inv[i - 1] = inv[i] * x[i] % MOD;
_for(i, 1, n) (inv[i] *= mx[i - 1]) %= MOD;
_for(i, 1, n) coeff[i] = {MOD - y[i], z[i]};
coeff[1] = coeff[1] * inv[1];
_for(i, 2, n) coeff[i] = (coeff[i - 1] * y[i] + coeff[i]) * inv[i];
if (coeff[n].first == 1) {
cout << (coeff[n].second ? 0 : MOD) << '\n';
return;
}
ans[n] = coeff[n].second * inverse(MOD + 1 - coeff[n].first) % MOD;
_for(i, 1, n - 1)
ans[i] = (coeff[i].second + coeff[i].first * ans[n] % MOD) % MOD;
cout << "1\n";
_for(i, 1, n) cout << (ans[i] - ans[i - 1] + MOD) % MOD << " \n"[i == n];
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
int _t;
cin >> _t;
while (_t--) solve();
FINISHED:
return 0;
}
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