笔记 - 线性空间
线性空间是基于集合的，在集合的基础上又额外规定了各元素之间的关系
线性空间
定义
概括起来就是：两个封闭，八条法则
称代数系统 \((V,+,\cdot,\mathbb{P})\)(或者记成 \((V,\oplus,\odot,\mathbb{P})\)) 为 \(V\) 关于 \(+,\cdot\) 构成 \(\mathbb{P}\) 上的线性空间，当
- 两种运算的封闭性
- \((\forall\alpha,\beta\in V),\alpha+\beta\in V\)
- \((\forall\alpha\in V,k\in\mathbb{P}),k\alpha\in V\)
- 加法交换律: \((\forall\alpha,\beta\in V),\alpha+\beta=\beta+\alpha\)
- 加法结合律: \((\forall\alpha,\beta,\gamma\in V),(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)\)
- "零元": \((\exists\theta\in V,\forall\alpha\in V),\alpha+\theta=\alpha\)
- "逆元": \((\forall\alpha\in V,\exists-\alpha\in V),\alpha+(-\alpha)=\theta\)
- 数乘与加法的分配律 (2 条):
- 左:
\((\forall\alpha,\beta\in V,k\in\mathbb{P}),k\cdot(\alpha+\beta)=k\cdot\alpha+k\cdot\beta\) - 右:
\((\forall\alpha\in V,k,l\in\mathbb{P}),(k+l)\cdot\alpha=k\cdot\alpha+l\cdot\alpha\)
- 左:
- 数乘结合律: \((\forall\alpha\in V,k,l\in\mathbb{P}),(kl)\cdot\alpha=k\cdot(l\cdot\alpha)\)
- "幺元": \((\exists 1\in\mathbb{P},\forall\alpha\in V),1\cdot\alpha=\alpha\)
在不引起混淆的情况下可简记为 \(V\)
简单性质
- \(\theta\) 唯一，称其为零向量
- \(\forall\alpha\in V,-\alpha\) 唯一，称其为 \(\alpha\) 的负向量
- \((\exists0\in\mathbb{P},\forall\alpha\in V),0\alpha=\theta\)
- \((\forall k\in\mathbb{P}),k\theta=\theta\)
- \((\forall\alpha\in V),(-1)\alpha=-\alpha\)
- 无零因子: \((\forall\alpha\in V,k\in\mathbb{P}),k\alpha=\theta\implies k=0\lor\alpha=\theta\)
- 加法的消去律: \((\forall\alpha,\beta,\gamma\in V),\alpha+\beta=\alpha+\gamma\implies\beta=\gamma\)
证明都是很简单的，也很有抽象代数的味道
其中在证明某一代数系统为线性空间时，加法的消去律可用来替代存在零向量和存在负向量两条条件
简单说说消去律是怎么推出后者的
首先，我们有 \((\forall\alpha,\beta\in V),0\alpha+\alpha=(0+1)\alpha=1\alpha=\alpha,0\beta+\beta=\beta\)
可推出 \(0\alpha+(\alpha+\beta)=\alpha+\beta,0\beta+(\alpha+\beta)=\beta+\alpha=\alpha+\beta\)
即 \(0\alpha+(\alpha+\beta)=0\beta+(\alpha+\beta)\)
从而 \((\forall\alpha,\beta\in V),0\alpha=0\beta=:\theta\)
此时 \(\theta\) 即为零向量
又 \((\forall\alpha\in V),\alpha+(-1)\alpha=(1+(-1))\alpha=0\alpha=\theta\)
故任意向量均存在负向量
另外一些零碎的定义，如 \(G[\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n]\) 就略去了
例子
\(\mathbb{P}\) 上的 \(n\) 维向量对于向量的加法和 \(\mathbb{P}\) 中的数乘
\(\mathbb{P}\) 上的 \(m\times n\) 矩阵对于矩阵的加法和 \(\mathbb{P}\) 中的数乘
代数系统 \((\mathbb{P}^2,\oplus,\odot,\mathbb{P})\), 其中
- \((\forall(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in\mathbb{P}^2),(x_1,x_2)\oplus(y_1,y_2):=(x_1+y_1,x_2+y_2+x_1y_1)\)
- \((\forall(x_1,x_2)\in\mathbb{P}^2,k\in\mathbb{P}),k\odot(x_1,x_2):=\left(kx_1,kx_2+\frac{k(k-1)}{2}x_1^2\right)\)
(没错这个真的是个线性空间)
区间 \([a,b]\) 上全体连续函数 \(C[a,b]\) 关于连续函数的加法和数与连续函数的数乘
线性空间 \(V\) 上的全体线性变换 \(L(V)\) 关于线性变换的加法和数与线性变换的数乘
线性子空间
线性空间是基于集合的，自然也会继承集合的许多概念，当然这些概念需要重定义一下
定义
对于线性空间 \(V\), 称 \(V_1\) 为 \(V\) 的线性子空间，若 \(\varnothing\ne V_1\subseteq V\)(注意此处的 \(V\) 是集合), 同时 \(V_1\) 关于 \(\oplus,\odot\)(\(V\) 构成 \(\mathbb{P}\) 上线性空间的两种合成) 构成 \(\mathbb{P}\) 上的线性空间
简称为子空间，记作 \(V_1\leqslant V\)
如果把上述定义中的 \(\subseteq\) 换成 \(\subsetneqq\), 则可得到真子空间的定义，记作 \(V_1<V\)
注意子空间一定是非空的，因为最小的线性空间是 \(\{\theta\}\)
定理 - 2-1(子空间判定定理)
令 \(V_1\) 为以线性空间的非空子集，则 \(V_1\) 为 \(V\) 的子空间当且仅当加法和数乘封闭，即
- \((\forall\alpha,\beta\in V_1),\alpha+\beta\in V_1\)
- \((\forall\alpha\in V_1,k\in\mathbb{P}),k\alpha\in V_1\)
证明很简单就省略了
子空间的交，和与直和
类似集合的交，我们可定义子空间的交为 \(V_1\cap V_2\), 显然其为 \(V_1,V_2\) 所有公共子空间的最大子空间
不过 \(V_1\cup V_2\) 就不一定是子空间了，\(V_1\cup V_2\) 是子空间当且仅当 \(V_1\subseteq V_2\) 或 \(V_2\subseteq V_1\)
子空间的和是这样定义的: \(V_1+V_2:=\{\alpha_1+\alpha_2|\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\}\), 显然这样定义出来的仍是子空间，显然其为所有包含 \(V_1,V_2\) 的子空间中的最小子空间
进一步，子空间的直和要求集合中所有元素的 \(\alpha_1,\alpha_2\) 的选取是唯一的，记作 \(V_1\oplus V_2\) (我的课本上记作 \(V_1\dotplus V_2\), 不过 \(\dotplus\) 的辨识度太低，所以我不是很喜欢这种写法)
正如集合的并和交可以推广到多个集合间，子空间的并，和与直和也是可以的
定理 - 2-2(直和判定定理)
令 \(V\) 为线性空间，\(V_1,V_2\leqslant V\), 则下列诸款等价:
- \(V_1+V_2\) 是直和
- \(V_1+V_2\) 中存在向量 \(\beta\), 使得拆分为 \(V_1\) 和 \(V_2\) 中的向量和的方式唯一 (任意 \(\to\) 存在)
- \(\theta\) 拆分为 \(V_1\) 和 \(V_2\) 中的向量和的方式唯一
- \(V_1\cap V_2=\{\theta\}\)
- \(\dim V_1+\dim V_2=\dim(V_1+V_2)\)
- 若 \((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_m)\) 是 \(V_1\) 的一组基，\((\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_n)\) 是 \(V_2\) 的一组基，
则 \((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_n)\) 是 \(V_1+V_2\) 的一组基
证明
\(1\implies2\), 显然
\(2\implies3\),
令 \(\beta=\beta_1+\beta_2,\beta_1\in V_1,\beta_2\in V_2\), 若 \(\theta=\alpha_1+\alpha_2,~\alpha_1\ne\theta,\alpha_1\in V_1,\alpha_2\in V_2\), 则
\[ \beta=\beta+\theta=(\beta_1+\alpha_1)+(\beta_2+\alpha_2) \]
而 \(\beta_1\ne\beta_1+\alpha_1\), 与条件矛盾
\(3\implies4\),
令 \(\theta\ne\alpha\in V_1\cap V_2\), 则 \(\theta=\alpha+(-\alpha)\), 与条件矛盾
\(4\implies1\),
若 \(V_1+V_2\) 不是直和，则存在 \(\beta\in V_1+V_2\) 使得 \(\beta=\beta_1+\beta_2=\gamma_1+\gamma_2\),
其中 \(\beta_1,\gamma_1\in V_1,\beta_2,\gamma_2\in V_2,(\beta_1,\beta_2)\ne(\gamma_1,\gamma_2)\)
则
\[ \theta\ne\beta_1-\gamma_1=\gamma_2-\beta_2\in V_1\cap V_2 \]
与条件矛盾
1, 5, 6 之间关系可由 定理 - 3-1 直接推得
实际证明 \(V=V_1\oplus V_2\) 时往往分为如下步骤:
- 证明 \(V=V_1+V_2\), 多用双包含法证明
- 证明 \(V_1+V_2\) 是直和
直和其实很有用，它是研究线性空间结构的有力工具之一
基底，维数，坐标
基底也是研究线性空间结构的有力工具之一
本篇文章只讨论有限维的线性空间
(有限) 生成集与维数
令 \(V\) 为 \(\mathbb{P}\) 上一线性空间，\(\varnothing\ne S\subseteq V\), 称 \(S\) 为 \(V\) 的生成集，如果
\[ (\forall\alpha\in V,\exists n\in\mathbb{N}^+,\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n\in S,k_0,k_1,\dots,k_n\in\mathbb{P}),\alpha=\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i\alpha_i \]
(就是能线性表出 \(V\) 中任意向量的一组向量)
\(\operatorname{rk}S\) 即为 \(V\) 的维数，记作 \(\dim V\)
具有有限生成集的线性空间为有限维的线性空间
显然，\(V\) 的一组极大线性无关组含向量数即为 \(V\) 的维数
基底与坐标
令 \(V\) 为 \(\mathbb{P}\) 上一线性空间，\(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n\) 为 \(V\) 的一组极大线性无关组，则
\[ (\forall\alpha\in V,\existsk_0,k_1,\dots,k_n\in\mathbb{P}),\alpha=\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i\epsilon_i \]
则称有序向量组 \((\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\) 为 \(V\) 的一组基底
\((k_0,k_1,\dots,k_n)\in\mathbb{P}^n\) 为 \(\alpha\) 在该基底下的坐标
显然基底有无穷多组
显然 \(n\) 维线性空间 \(V\) 中任意 \(n\) 个线性无关向量组均可构成一组基底
例子
\(\mathbb{P}[x]\) 即为无限维的
\(\{\theta\}\) 为 0 维的，称作平凡线性空间
对于 \(n\) 维线性空间 \(\mathbb{P}_n[x]\) 中向量 \(\alpha=f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\)
显然 \((1,x^1,x^2,...,x^{n-1})\) 为一组基底，对应的坐标为 \((a_0,a_0,a_1,\dots,a_{n-1})\)
又由 Taylor 公式可得 \(f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{f^{(i)}(a)\over i!}(x-a)^i\)
故 \(\left(1,x-a,(x-a)^2,...,(x-a)^{n-1}\right)\) 为一组基底，对应的坐标为 \((f(a),f'(a),...,{f^{(n-1)}(a)\over(n-1)!})\), 当 \(a=0\) 时，即为前述情况
定理 - 3-1(维数公式)
令 \(V\) 为有限维线性空间，\(V_1,V_2\leqslant V\), 则
\[ \dim(V_1+V_2)+\dim(V_1\cap V_2)=\dim V_1+\dim V_2 \]
证明
令 \(\dim V_1=n_1,\dim V_2=n_2,\dim(V_1\cap V_2)=l\), 只需证 \(\dim(V_1+V_2)=n_1+n_2-l\)
取 \(V_1\cap V_2\) 中一组基 \((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l)\), 其可在 \(V_1,V_2\) 中分别扩充为
\((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_{n_1-l}),(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\gamma_0,\gamma_1,\dots,\gamma_{n_2-l})\)
如果 \((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_{n_1-l},\gamma_0,\gamma_1,\dots,\gamma_{n_2-l})\) 为 \(V_1+V_2\) 的一组基，则命题得证
显然 \(V_1+V_2=G[\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_{n_1-l},\gamma_0,\gamma_1,\dots,\gamma_{n_2-l}]\)
则只需证明 \(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_{n_1-l},\gamma_0,\gamma_1,\dots,\gamma_{n_2-l}\) 线性无关即可
考虑 \(\displaystyle\sum_{i=1}^lk_i\alpha_i+\sum_{i=1}^{n_1-l}p_i\beta_i+\sum_{i=1}^{n_2-l}q_i\gamma_i=\theta\)
则 \(\displaystyle\sum_{i=1}^lk_i\alpha_i+\sum_{i=1}^{n_1-l}p_i\beta_i=\sum_{i=1}^{n_2-l}(-q_i)\gamma_i=:\alpha\)
可知等式左端 \(\in V_1\), 右端 \(\in V_2\), 故 \(\alpha\in V_1\cap V_2\)
\(\alpha\) 可写成 \(\displaystyle\sum_{i=1}^lr_i\alpha_i\)
则
\(\displaystyle\sum_{i=1}^lr_i\alpha_i+\sum_{i=1}^{n_2-l}q_i\gamma_i=\theta\implies r_i=q_j=0,~i=1,2,...,l;j=1,2,...,n_2-l\)
此式说明 \(\alpha=\theta\), 故 \(k_i=p_j=0,~i=1,2,...,l;j=1,2,...,n_1-l\)
因此 \(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_l,\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_{n_1-l},\gamma_0,\gamma_1,\dots,\gamma_{n_2-l}\) 线性无关
这个公式很重要
例题
习题 - 3-1
令 \(W\) 是 \(\mathbb{P}\) 上的 \(n\) 维线性空间 \(\mathbb{P}^n\) 的非平凡子空间，证明:
若关于 \(W\) 的每个向量 \((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)\) 均或者 \(\alpha_{1}=\alpha_{2}=...=\alpha_{n}=0\), 或者 \(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n\ne 0\), 则 \(\dim W=1\)
解
假设 \(\dim W\geqslant2\), 则 \(W\) 中存在两线性无关向量 \(\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)\) 满足
\[ (\exists1<i\leqslant n),k:=\frac{a_1}{b_1}\ne\frac{a_i}{b_i} \]
从而 \(\alpha-k\beta=(0,...,a_i-kb_i,...,a_n-kb_n)\in W, a_i-kb_i\ne0\), 矛盾！
故 \(\dim W=1\)
习题 - 3-2
证明:
\(W=\{f(x)\in\mathbb{R}[x]|f(1)=0;\partial f(x)\leqslant n~or~f(x)=0\}\) 为 \(\mathbb{R}\) 上线性空间，并求出其一组基底
解
容易验证 \(W\) 为 \(\mathbb{R}\) 上线性空间
\((\forall f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^na_ix^i\in W),f(1)=0\implies a_0=-\sum_{i=1}^na_i\implies f(x)=\sum_{i=1}^na_i(x^i-1)\)
又 \(\displaystyle\sum_{i=1}^nk_i(x^i-1)=0\implies k_1=k_2=...=k_n=0\)
故 \((x-1,x^{2}-1,...,x^{n}-1)\) 即为 \(W\) 上的一组基底
坐标变换
同一个线性空间有多组基，一组基中的所有向量能被另一组基线性表出，本节便研究向量的坐标在不同基之间的转化
类矩阵
\(V\) 的一组基底 \((\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\) 被称作类矩阵 , 因为其一些性质与矩阵类似
- 分配律:
- 左:
\((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)A+(\beta_0,\beta_1,\dots,\beta_n)A=(\alpha_1+\beta_1,\alpha_2+\beta_2,...,\alpha_n+\beta_n)A\) - 右:
\((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)A+(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)B=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)(A+B)\)
- 左:
- 数乘的交换律: \(k(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)A=(k\alpha_0,k\alpha_1,\dots,k\alpha_n)A=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)(kA)\)
- 矩阵乘法的结合律: \([(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)A]B=(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n)AB\)
但由于线性空间的向量不一定是列向量，故类矩阵不一定能看作矩阵分块
有了类矩阵的概念，我们就可以得到向量的另一种记法
设向量 \(\alpha\) 在 \((\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\) 下的坐标为 \((x_1,x_2,\dots,x_n)\), 则 \(\alpha\) 可记作
\[ \alpha=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix} \]
过渡矩阵
设 \((\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\) 和 \((\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)\) 是 \(V\) 的两组基底，则 \(\exists T\in\mathbb{P}^{n\times n}\) 使得
\[ (\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)T\tag{1} \]
则称 \(T\) 为 \((\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\) 到 \((\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)\) 的过渡矩阵
显然，\(T\) 是可逆的，否则 \((\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)\) 线性相关
坐标变换
设向量 \(\alpha\) 在 \((\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n),(\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)\) 下的坐标分别为 \((x_1,x_2,\dots,x_n),(x'_0,x'_1,\dots,x'_n)\), 则
\[ \begin{aligned} \alpha=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}&=(\epsilon'_0,\epsilon'_1,\dots,\epsilon'_n)\begin{bmatrix} x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n \end{bmatrix}\\ &=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)T\begin{bmatrix} x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n \end{bmatrix}\\ &=(\epsilon_0,\epsilon_1,\dots,\epsilon_n)(T\begin{bmatrix} x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n \end{bmatrix}) \end{aligned} \]
故
\[ \begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}=T\begin{bmatrix} x'_1\\x'_2\\\vdots\\x'_n \end{bmatrix} \]
此即为 \(\alpha\) 的坐标变换公式
(在之后的笔记中我们可以看到，\(T\) 对应一个线性变换 \(\bold{T}\))
过渡矩阵的求法
- 定义
- 若线性空间为 \(\mathbb{P}^n\), 则类矩阵即为矩阵，式 (1) 即为 \(B=AT\), 则 \(T=A^{-1}B\)
- 若已知 \(n\) 个线性无关向量 \(\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n\) 在两基底下的坐标，则求法同上
(线性) 同构
同构自然也是研究线性空间结构的有力工具之一
如果两套代数系统同构，那么两者的许多基于运算的性质就都是相通的了
线性空间上的同构定义与通常意义上的同构定义一致，即
称两线性空间 \(V_1\) 与 \(V_2\) 同构，若存在双射 \(f:V_1\to V_2\) 满足
\((\forall\alpha,\beta\in V_1,k,l\in\mathbb{P}),f(k\alpha+l\beta)=kf(\alpha)+lf(\beta)\)
(即保持加法和数乘)
称上述 \(f\) 为同构映射，记 \(V_1\) 与 \(V_2\) 同构为 \(V_1\cong V_2\)
容易证明同构是等价关系 , 即满足自反性，对称性，传递性
证明两线性空间同构即寻找同构映射
我们有一个很重要的定理
定理 - 5-1
设 \(V\) 为在 \(\mathbb{P}\) 上的 \(n\) 维线性空间，则 \(V\cong\mathbb{P}^n\)
这也正好说明了我们把线性空间中的元素称为向量的合理性
这个同构映射很好构造，证明就略去了
由此我们可以得到一条重要推论
推论 - 5-1
\(\mathbb{P}\) 上线性空间 \(V_1,V_2\) 同构 \(\iff\dim V_1=\dim V_2\)
例题
习题 - 5-1
设 \(V\) 为 \(n\) 维线性空间，证明:
存在 \(V\) 的无限子集 \(S\), 使得 \(S\) 中任意 \(n\) 个向量是线性无关的
解
这类题往往可以通过 \(V\) 与 \(\mathbb{P}^n\) 同构并利用 Vandermonde 行列式等解决
注意到 \(\mathbb{P}^n\) 中形如
\[ (1,a,a^2,...,a^{n-1}),a\in\mathbb{N}^* \]
的向量有无限个
这些向量中的任意 \(n\) 个均可构成非 0 的 Vandermonde 行列式，故这些向量线性无关
又由 \(n\) 维线性空间与 \(\mathbb{P}^n\) 同构可知命题成立
习题 - 5-2
设 \(V\) 为 \(n\) 维线性空间，证明:
若 \(V_i<V,~i=1,2,...,m\), 则存在 \(\alpha\in V\) 使得 \(\alpha\notin V_i,~i=1,2,...,m\)
本题给出两种证明方法，以凸显同构的强大之处
解 - 1(数学归纳法)
当 \(m=1\) 时，命题显然成立
当 \(m=2\) 时，取 \(\alpha\in V/V_1\), 若 \(\alpha\notin V_2\), 则命题成立，否则 \(\exists\beta\in V/V_2\)
可知 \(k\alpha+\beta\notin V_2,\forall k\in\mathbb{P}\), 否则可推出 \((k\alpha+\beta)-k\alpha=\beta\in V_2\)
取 \(k_1,k_2\in\mathbb{P},k_1\ne k_2\)
则 \(k_1\alpha+\beta\in V_1\) 和 \(k_2\alpha+\beta\in V_1\) 不同时成立，否则可推出
\((k_1\alpha+\beta)-(k_2\alpha+\beta)=(k_1-k_2)\alpha\in V_1\)因此当 \(m=2\) 时命题成立
假设 \(m-1\) 时命题成立，则 \((\exists\alpha\in V),\alpha\notin V_i,i=1,2,...,m-1\), 若 \(\alpha\notin V_m\), 则命题成立，否则 \(\exists\beta\in V/V_m\)
可知 \(k\alpha+\beta\notin V_m,\forall k\in\mathbb{P}\), 否则可推出 \((k\alpha+\beta)-k\alpha=\beta\in V_m\)
取 \(k_1,k_2\in\mathbb{P},k_1\ne k_2\)
则 \(k_1\alpha+\beta\in V_i\) 和 \(k_2\alpha+\beta\in V_i\) 不同时成立，\((i=1,2,...,m-1)\), 否则可推出 \((k_1\alpha+\beta)-(k_2\alpha+\beta)=(k_1-k_2)\alpha\in V_i\)
此时取 \(m\) 个不相等的数 \(k_1,k_2,...,k_m\), 可知
\((\exists k\in\{k_1,k_2,...,k_m\}),k\alpha+\beta\notin V_i,i=1,2,...,m-1\), 又由 \(k\alpha+\beta\notin V_m\) 可知该向量即为所求
解 - 2(同构)
注意到 \(\mathbb{P}^n\) 中形如
\[ (1,a,a^2,...,a^{n-1}),a\in\mathbb{N}^* \]
的向量有无限个
这些向量中的任意 \(n\) 个均可构成非 0 的 Vandermonde 行列式，故这些向量线性无关
而 \(V_1,V_2,\dots,V_s\) 最多只需使用其中 \(m(n-1)\) 个向量张成，故在 \(V\) 中总能找到满足要求的向量
线性方程组的解空间
如果线性方程组为齐次线性方程组 , 则其解构成一线性空间，我们把它称作解空间 , 反之不然
这个结论是显然的
进一步，我们有如下定理:
定理 - 6-1
对于 \(\mathbb{P}^n\) 上的任意 \(t\) 维子空间 \(S_0\), 均存在齐次线性方程组，使得其解空间恰为 \(S_0\)
(全体齐次线性方程组与全体线性子空间构成满同态)
证明
显然，
- 当 \(t=0\) 时，任意满秩的 \(n\) 元齐次线性方程组均满足条件
- 当 \(t=n\) 时，系数矩阵为 \(O\) 的 \(n\) 元齐次线性方程组满足条件
现讨论 \(0<t=\dim S_0<n\) 的情况
取 \(S_0\) 的一组基底 \((\alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_t),~\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{in}),~i=1,2,...,t\)
则 \(\operatorname{rk}(a_{ij})_{t\times n}=t\)
齐次线性方程组
\[ (a_{ij})_{t\times n}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}=\theta \]
有 \(n-t\) 个解 \(\beta_i=(b_{i1},b_{i2},...,b_{in})^T,~i=1,2,...,n-t\) 张成解空间
故齐次线性方程组
\[ (b_{ij})_{(n-t)\times n}\begin{bmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{bmatrix}=\theta \]
有 \(t\) 个解 \(\alpha_i=(a_{i1},a_{i2},...,a_{in}),~i=1,2,...,t\) 张成解空间
例题
习题 - 6-1
证明: \(n\) 维线性空间的任何真子空间均可表示成若干个 \(n-1\) 维子空间的交
解
上面我们已经证明了：对于任意 \(r\) 维子空间，均存在系数矩阵的秩为 \(n-r\) 的齐次线性方程组，使得其解空间恰为该子空间
特别的，对任意 \(n-1\) 维子空间，均存在齐次线性方程，使得其解空间恰为该子空间
另外，子空间的交在齐次线性方程组中即为方程组的合并
那么结论就显然成立了
习题 - 6-2
令 \(f(x),g(x)\in\mathbb{P}[x],(f(x),g(x))=1,A\in\mathbb{P}^{n\times n}\), 证明:
齐次线性方程组 \(f(A)g(A)X=0\) 的解空间 \(V\) 是 \(f(A)X=0,g(A)X=0\) 的解空间 \(V_1,V_2\) 的直和，其中 \(X=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T\)
解
注意到
\(\alpha\in V_1,\beta\in V_2\implies f(A)\alpha=g(A)\beta=0\implies f(A)g(A)\alpha=f(A)g(A)\beta=0\implies\alpha,\beta\in V\)故 \(V_1,V_2\leqslant V\)
又由 \((f(x),g(x)=1\) 知 \(\exists u(x),v(x)\in\mathbb{P}[x]\) 使得 \(f(A)u(A)+g(A)v(A)=E\)
则 \(\forall\alpha\in V,\alpha=f(A)u(A)\alpha+g(A)v(A)\alpha\xlongequal[\alpha_2=g(A)v(A)\alpha]{\alpha_1=f(A)u(A)\alpha}\alpha_1+\alpha_2\)
可得 \(g(A)\alpha_1=u(A)(f(A)g(A)\alpha)=0\), 故 \(\alpha_1\in V_2\), 同理 \(\alpha_2\in V_1\), 因此 \(V=V_1+V_2\)
又令 \(\beta\in V_1\cup V_2\), 则有 \(f(A)\beta=g(A)\beta=0\)
于是 \(\beta=(f(A)u(A)+g(A)v(A))\beta=0\), 即 \(V_1\cup V_2=\{0\}\)
因此 \(V=V_1\oplus V_2\)
参考资料
- 高等代数教程 / 郭聿琦，岑嘉评，王正攀编著. —— 北京：科学出版社，2014. 7