雀食
题目链接
原始题面
题目描述
给定 \(D,R,E,A,M\) 求:
\[
\newcommand{\lcm}{\operatorname{lcm}}\sum_{d=1}^D\sum_{r=1}^R\sum_{e=1}^E\sum_{a=1}^A\sum_{m=1}^M\frac{\begin{matrix}\gcd(d,r,e)\gcd(d,r,a)\gcd(d,r,m)\gcd(d,e,a)\gcd(d,e,m)\\\gcd(d,a,m)\gcd(r,e,a)\gcd(r,e,m)\gcd(r,a,m)\gcd(e,a,m)\end{matrix}}{\begin{matrix}\gcd(\lcm(d,r),\lcm(d,e),\lcm(d,a),\lcm(d,m),\\\lcm(r,e),\lcm(r,a),\lcm(r,m),\lcm(e,a),\lcm(e,m),\\\lcm(a,m))^3\gcd(\lcm(d,r,e),\lcm(d,r,a),\lcm(d,r,m),\\\lcm(d,e,a),\lcm(d,e,m),\lcm(d,a,m),\lcm(r,e,a),\\\lcm(r,e,m),\lcm(r,a,m),\lcm(e,a,m))\end{matrix}}
\]
答案对 \(10^9+7\) 取模
输入格式
本题输入含有多组数据
第一行一个正整数 \(T\), 代表数据组数量.
接下来 \(T\) 行，每行五个正整数，分别代表 \(D,R,E,A,M\)
输出格式
输出 \(T\) 个正整数，代表对应数据组答案
输入输出样例
输入 #1
1
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4
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1 1 1 1 1
5 6 7 8 9
5642228 7263010 8833976 5087685 6171346
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输出 #1
说明 / 提示
数据规模与约定
本题采用捆绑测试
Subtask 1 (2 pts): \(D,R,E,A,M\le10\)
Subtask 2 (41 pts): \(D,R,E,A,M\le100\)
Subtask 3 (57 pts): 没有特殊限制
对于所有数据，\(1\le T\le2000\), \(1\le D,R,E,A,M\le5\times10^7\)
题意简述
求
\[
\sum_{(d,r,e,a,m)\in S}{\prod_{c}(\alpha,\beta)\over\gcd_{c}{}^3\{[\alpha,\beta]\}\gcd_{c}\{[\alpha,\beta,\gamma]\}}
\]
其中
- \(S=[1,D]\times[1,R]\times[1,E]\times[1,A]\times[1,M]\)
- 下标的 \(c\) 代表该算子枚举的是所有组合
解题思路
原题式子是真的丑，用唯一分解定理算算就能得出是
\[
\sum_{(d,r,e,a,m)\in S}\gcd{}^6\{d,r,e,a,m\}
\]
然后就是经典套路变形
设
- \(n=\min\{D,R,E,A,M\}\)
- \(\def\f#1{\lfloor\frac{ #1}{x}\rfloor}F(x)=\f{D}\f{R}\f{E}\f{A}\f{M}\)
则所求为
\[
\sum_{d=1}^nF(d)(\{n^6\}*\mu)(d)
\]
然后大力数论分块搞搞就行了
另外注意常数，我卡了半天常才过
std 的速度比我的快了一倍多，不知道怎么写的，反正卡过了就完事了
复杂度
\(O(N+T\sqrt N)\), 其中 \(N=\max\{D,R,E,A,M\}\)
代码参考
Show code
Hydro_H1060view raw1
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i128 = __int128_t;
const int OFFSET = 1;
const int N = 5e7 + OFFSET, P = 6002268 + OFFSET;
const int MOD = 1e9 + 7;
bool vis[N];
int f[N];
int prime[P], cnt_prime;
constexpr i128 pow6(int k) {
k = (1ll * k * k) % MOD;
return (i128)k * k * k % MOD;
}
void init_prime(const int &n = N - 1) {
f[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (!vis[i]) f[prime[++cnt_prime] = i] = pow6(i) - 1;
for (int j = 1; j <= cnt_prime && i * prime[j] <= n; ++j) {
vis[i * prime[j]] = 1;
f[i * prime[j]] = f[i] * pow6(prime[j]) % MOD;
if (f[i * prime[j]] >= MOD) f[i * prime[j]] -= MOD;
if (i % prime[j] == 0) break;
if ((f[i * prime[j]] -= f[i]) < 0) f[i * prime[j]] += MOD;
}
}
for (int i = 2; i <= n; ++i)
if ((f[i] += f[i - 1]) >= MOD) f[i] -= MOD;
}
auto __STATIC__ = []() {
init_prime();
return 0.0;
}();
constexpr int F(const int x,
const int d,
const int r,
const int e,
const int a,
const int m) {
return (i128)(d / x) * (r / x) * (e / x) * (a / x) % MOD * (m / x) % MOD;
}
int _m;
i128 ans;
int d, r, e, a, m;
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cout.tie(nullptr);
int _t;
cin >> _t;
while (_t--) {
cin >> d >> r >> e >> a >> m;
_m = min({d, r, e, a, m});
ans = 0;
for (int _l = 1, _r; _l <= _m; _l = _r + 1) {
_r = min(
{d / (d / _l), r / (r / _l), e / (e / _l), a / (a / _l), m / (m / _l)});
ans += 1ll * (f[_r] - f[_l - 1] + MOD) * F(_l, d, r, e, a, m) % MOD;
}
cout << (int)(ans % MOD) << '\n';
}
return 0;
}
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