笔记 - 扩展中国剩余定理 (exCRT)

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我们都知道，CRT 用于求解的方程组要求其模数必须两两互素，而 exCRT 则没有这条限制

介绍

为什么 CRT 要求其模数必须两两互素？

因为 CRT 的关键便是构造这样的方程组

\[ \begin{cases} x\equiv1\pmod{m_i}\\ x\equiv0\pmod{m_j}~(j\ne i) \end{cases} \]

此时的 \(x=M_iN_i\), \(M_i=\prod_{j=1,j\ne i}^km_j\), 而 \(N_i\) 是 \(M_i\) 关于 \(m_i\) 的逆元

我们知道，如果一个整数 \(a\) 在模 \(m\) 意义下有逆元，其前提之一便是 \((a,m)=1\)

在此处便是 \((M_i,m_i)=1\)

故由最大公约数的性质，此处的 \(k\) 个模数 \(m_1,m_2,\dots,m_k\) 必须两两互素

那么我们能不能摆脱这个限制条件呢？

当然可以！

这就要求我们在构建解的时候绕开 CRT 的证明，另辟蹊径

我们观察下面的式子

\[ \begin{cases} x\equiv b_1\pmod{m_1}\\ x\equiv b_2\pmod{m_2} \end{cases} \]

由同余定义，我们有

\[ \begin{cases} m_1\mid x-b_1\\ m_2\mid x-b_2 \end{cases} \]

即存在整数 \(k_1,k_2\) 使得

\[ x=m_1k_1+b_1=m_2k_2+b_2 \]

整理一下，便有

\[ m_1k_1-m_2k_2=b_2-b_1\tag{1} \]

此时我们便可以通过扩欧去解决 \((1)\) 式的可解性和一组可行解

更重要的是：此时不需要 \((m_1,m_2)=1\)

求出 \(k_1,k_2\) 之后便可得到

\[ x\equiv m_1k_1+b_1\equiv m_2k_2+b_2\pmod{[m_1,m_2]} \]

代码

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namespace EXCRT {
using T = int64_t;
T abs(T a) { return a < 0 ? -a : a; }
T mod_mul(T a, T b, T mod) {
  T res = 0;
  for (; b; b >>= 1, (a += a) %= mod)
    if (b & 1) (res += a) %= mod;
  return res;
}
T gcd(T a, T b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
T exgcd(T a, T b, T &x, T &y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  T res = exgcd(b, a % b, y, x);
  y -= a / b * x;
  return res;
}

bool solve_2equ(T b1, T b2, T m1, T m2, T &x, T &M) {
  ((b1 %= m1) += m1) %= m1;
  ((b2 %= m2) += m2) %= m2;
  T g = gcd(m1, m2), r = b2 - b1;
  M = m1 / g * m2;
  if (abs(r) % g) return false;
  T k1, k2;
  exgcd(m1, m2, k1, k2);
  if (r < 0) k1 = -k1;
  ((k1 %= M) += M) %= M;
  k1 = mod_mul(k1, abs(r) / g, M);
  x = ((mod_mul(k1, m1, M) + b1) % M + M) % M;
  return true;
}

bool excrt(T b[], T m[], const int len, T &res) {
  T pre_b = b[1], pre_m = m[1];
  T now_b, now_m;
  for (int i = 2; i <= len; ++i) {
    now_b = b[i];
    now_m = m[i];
    if (!solve_2equ(pre_b, now_b, pre_m, now_m, pre_b, pre_m)) return false;
  }
  res = pre_b;
  return true;
}
}  // namespace EXCRT
using EXCRT::excrt;