随笔 - 根据给定序列构造周期数列 (附 MATLAB 程序)

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对于给定的一个序列 \([a_1,a_2,\dots,a_m]\), 如何构造数列 \(\{f_n\}\) 满足 \(\{f_n\}\) 为周期为 \(m\) 的数列且 \(f_i=a_i,~\forall i\in 1..m\)

例如数列

\[ \color{brown}f_n=\frac{2}{3}\left(-\sqrt{3}\sin\frac{\pi n}{3}-\cos\frac{\pi n}{3}+\sqrt{3}\sin\frac{2\pi n}{3}+2\cos\frac{2\pi n}{3}+\cos\pi n+4\right) \]

以 6 为周期且 \(\color{brown}(f_1,...,f_6)=(1,1,4,5,1,4)\)

构造方法

这里给出一种构造方法

显然 \(f_n=\sum_{i=0}^{m-1}c_i\omega_m^{i(n-1)}\) 是一个周期为 \(m\) 的数列，其中 \(\omega_m=e^\frac{2\pi i}{m}\) 为 \(m\) 次本原单位根

接下来我们只需令 \(f_{1..m}=a_{1..m}\) 即可

显然我们有

\[ \begin{bmatrix} 1&1&1&...&1\\ 1&\omega&\omega^2&...&\omega^{m-1}\\ 1&\omega^2&\omega^4&...&\omega^{2(m-1)}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&\omega^{m-1}&\omega^{2(m-1)}&...&\omega^{(m-1)^2}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c_0\\c_1\\c_2\\...\\c_{m-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\a_3\\...\\a_m \end{bmatrix} \]

注意到系数矩阵为 Vandermonde 行列式，故该方程组一定有唯一解

MATLAB 程序

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function outputFunc = cycle_sequence_generator(sequence)
    %CYCLE_SEQUENCE_GENERATOR
    %    generate a symfun $f(n)$ with given vector
    % $s$, which subject to $f(n)=f(n-l), \forall n>l$ and
    % $f(n)=s(n), \forall 1\leq n\leq l$, assume $|s|=l$
    %
    % Syntax: outputFunc = cycle_sequence_generator(sequence)
    %     sequence: given vector $s$
    %     outputFunc: $f(n)$

    % @Author: Tifa
    % @LastEditTime: 2021-10-21 00:43:45

    if (~isvector(sequence))
        error("sequence should be a vector");
    end

    if (isrow(sequence))
        sequence = sequence';
    end

    N = length(sequence);

    syms w a(n)

    w = sym(cos(2 * pi / N) + 1i * sin(2 * pi / N));
    W = simplify(cumprod(ones(1, N) * w) ./ w);
    a(n) = simplify((W.^(n - 1)) * (fliplr(vander(W))^(-1) * sequence));

    outputFunc = a;
end