随笔 - 一些数学公式

记录一些杂七杂八的数学公式

关于取整函数

• \[ \lfloor x\rfloor=\begin{cases} \displaystyle x+\frac{\arctan\cot\pi x}{\pi}-\frac{1}{2},&x\notin\mathbb{Z}\\ x,&x\in\mathbb{Z} \end{cases} \]

关于数论函数

• \[ \varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\frac{\gcd\{x,y\}}{\varphi(\gcd\{x,y\})} \]

莫反相关结论

• \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(i,j)^k=\sum_{D=1}^{\min\{n,m\}}\left\lfloor\frac{n}{D}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{D}\right\rfloor\{\operatorname{id}_k*\mu\}(D) \]
• \[ \{\operatorname{id}_k*\mu\}(p^s)=p^{ks}-p^{k(s-1)} \]

关于 Fibonacci 数列

• \[ (f_n,f_m)=f_{(n,m)} \]

杂项

• \[ e(e+\pi)^e(2e + \pi)^e+\frac{e}{(\pi^e-e)(e+e^\pi-\pi^e)}\approx 114514.1919810 \]