微分几何笔记 00 - 基础知识与约定
本章主要列举一些前置知识与约定
返回目录约定
如无特殊说明，本笔记均遵循如下约定:
所有的讨论都在 \(E^3\) 下，即三维 Euclidean 空间下
所有的标量函数均在 \(C^3\) 内，即三阶连续可微
所有的向量函数的每一个分量函数均在 \(C^3\) 内
所有的向量均为行向量
向量函数
参数曲线
\[ \textbf{r}(t):=(x(t),y(t),z(t)) \]
在本系列中，我们要求其满足:
- \(\textbf{r}'(t)\ne 0,~\forall t\)
此时的参数曲线可被称为 正则参数曲线
参数曲面
\[ \textbf{r}(u,v):=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \]
在本系列中，我们要求其满足:
- \(\textbf{r}_u\wedge\textbf{r}_v|_{(u_0,v_0)}\ne 0,~\forall u_0,v_0\)
此时的参数曲面可被称为 正则参数曲面
为了书写简便，有时不会对向量加粗处理，在涉及到向量运算时更为常见
内积，外积，混合积
定义与通常意义下的一致，记号如下:
内积: \(\lang u,v\rang\)
外积: \(u\wedge v\)
混合积: \((u,v,w)\)
我知道这个记号和行向量冲突了，但是一方面本笔记中混合积不会频繁出现，另一方面这两个记号其实很难搞混，所以就不另作区分了
我们有如下两个实用的结论
Lagrange 恒等式: \[ \lang v_1\wedge v_2,v_3\wedge v_4\rang=\begin{vmatrix} \lang v_1,v_3\rang & \lang v_2,v_3\rang\\ \lang v_1,v_4\rang & \lang v_2,v_4\rang\\ \end{vmatrix} \]
混合积的轮换恒等性: \((v_1,v_2,v_3)=(v_2,v_3,v_1)=(v_3,v_1,v_2)\)
进一步，对于置换 \(\sigma\in S^3\), 我们有
\[ (v_{\sigma(1)},v_{\sigma(2)},v_{\sigma(3)})=(-1)^{\pi(\sigma)}(v_1,v_2,v_3) \]
证明略
微分运算规则
- \[ \mathrm{d}(\lambda\textbf{u}):=(\mathrm{d}\lambda)\textbf{u}+\lambda\mathrm{d}\textbf{u} \]
- \[ \mathrm{d}\lang \textbf{u},\textbf{v}\rang:=\lang\mathrm{d}\textbf{u},\textbf{v}\rang+\lang \textbf{u},\mathrm{d}\textbf{v}\rang \]
- \[ \mathrm{d}(\textbf{u}\wedge \textbf{v}):=\mathrm{d}\textbf{u}\wedge \textbf{v}+\textbf{u}\wedge\mathrm{d}\textbf{v} \]
- \[ \mathrm{d}(\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w}):=(\mathrm{d}\textbf{u},\textbf{v},\textbf{w})+(\textbf{u},\mathrm{d}\textbf{v},\textbf{w})+(\textbf{u},\textbf{v},\mathrm{d}\textbf{w}) \]
合同变换，刚体运动，反向刚体运动
我们知道，\(E^3\) 上的任意合同变换 \(\mathcal{T}\) 均满足
\[ \mathcal{T}(x)=xT+P \]
其中 \(T\) 为 3 阶正交矩阵，\(P\in E^3\)
若 \(T\in\textrm{SO}(3)\), 即 \(\det T=1\), 则称该合同变换 \(\mathcal{T}\) 为 刚体运动 , 否则称该合同变换 \(\mathcal{T}\) 为 反向刚体运动
简单来说就是：刚体运动是旋转和平移的复合，而反向刚体运动是反射变换后的刚体运动
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