高等代数笔记 - 基础知识

本章主要列举一些前置知识

随用随补

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群,环,域

定义

称代数系统 \(\lang G,\cdot\rang\) , 若满足

  1. 封闭性: \(\forall a,b\in G,a\cdot b\in G\)
  2. 结合律: \(\forall a,b,c\in G,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)
  3. 单位元: \(\exists e\in G,\forall a\in G\), \(s.t.~e\cdot a = a\cdot e = a\)
  4. 逆元: \(\forall a\in G,\exists b\in G\), \(s.t.~a\cdot b = b\cdot a = e\), 此处 \(e\) 为单位元

其中 \(G\) 为非空集合,\(\cdot\)\(G\) 上一二元运算

  • 如果上述 4 个条件只有 1 和 2 成立,我们称代数系统 \(\lang G,\cdot\rang\)半群
  • 如果二元运算 \(\cdot\) 还满足交换律 (\(\forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a\)), 则称群 \((G,\cdot)\)交换群Abel 群

定义

称代数系统 \(\lang G,+,\cdot\rang\) , 若满足

  1. \(\lang G,+\rang\) 构成交换群
  2. \(\lang G,\cdot\rang\) 构成半群
  3. \(\cdot\)\(+\) 的分配律: \[ \forall a,b,c\in G,\begin{cases} a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c\\ (b+c)\cdot a = b\cdot a+c\cdot a \end{cases} \]

定义

称代数系统 \(\lang G,+,\cdot\rang\) , 若满足

  1. \(\lang G,+\rang\) 构成交换群
  2. \(\lang G/\{e\},\cdot\rang\) 构成交换群,其中 \(e\) 为群 \(\lang G,+\rang\) 的单位元
  3. \(\cdot\)\(+\) 的分配律: \[ \forall a,b,c\in G,\begin{cases} a\cdot (b+c) = a\cdot b+a\cdot c\\ (b+c)\cdot a = b\cdot a+c\cdot a \end{cases} \]

具体参见抽象代数 (可能会开坑)